ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 431: Теорема Пифагора

План доказательства. Нам дано, что точка D лежит внутри треугольника ABC, и выполняется равенство AD=AB. Нужно сравнить стороны AC и AB. Поскольку AB=AD, задача сводится к сравнению AC и AD. Вспомним свойство: в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Если мы сможем показать, что угол ADC больше угла ACD, то из этого следует, что сторона AC (лежащая против угла ADC) больше стороны AD (лежащей против угла ACD). А так как AD=AB, то и AC>AB. Ход решения. 1. Проведём луч BD до пересечения со стороной AC в точке E. Так как точка D лежит внутри треугольника ABC, луч BD обязательно пересекает сторону AC.2. Рассмотрим треугольник ABE. Угол AEB является внешним для треугольника BEC? Нет, давайте посмотрим на углы при основании равнобедренного треугольника ABD.3. Треугольник ABD — равнобедренный с основанием BD, так как по условию AB=AD. Следовательно, углы при основании равны: ∠ABD=∠ADB.4. Теперь рассмотрим треугольник ADE. Угол ADB является внешним углом для треугольника ADE относительно вершины D? Нет, это не совсем так. Посмотрим на углы иначе.5. Рассмотрим треугольник CDE. Угол ADC состоит из двух частей: |angleADB+|angleBDC? Нет, точки A,D,C не лежат на одной прямой. Давайте используем неравенство треугольника или свойства внешних углов более аккуратно.6. Вернёмся к проведённому лучу BD, пересекающему AC в точке E.7. В треугольнике ABE: угол AEB меньше развернутого угла. Но нам нужно связать углы при вершине D и C.8. Рассмотрим треугольник ADE. Сумма углов равна 180^°.9. Давайте воспользуемся методом от противного или прямым сравнением через внешние углы.10. Проведем отрезок CD. Рассмотрим треугольник ADC. Нам нужно доказать, что AC>AD. Это верно тогда и только тогда, когда |angleADC>|angleACD.11. Заметим, что |angleADC=|angleADB+|angleBDC (если луч DB проходит между DA и DC). Так как D внутри треугольника, луч DB действительно находится внутри угла ADC?12. Проверим расположение лучей. Точка D внутри △ABC. Лучи DA,DB,DC выходят из D к вершинам. Угол ADC разбивается лучом DB на два угла: |angleADB и |angleBDC. Следовательно, |angleADC=|angleADB+|angleBDC.13. Из равенства выше следует, что |angleADC>|angleADB.14. Так как △ABD равнобедренный (AB=AD), то |angleADB=|angleABD.15. Теперь рассмотрим треугольник BCE (где E — точка пересечения продолжения BD со стороной AC). Или проще: рассмотрим треугольник BCD и внешний угол.16. Посмотрим на угол |angleACD (он же |angleACB). Он является частью угла |angleACB.17. Сравним |angleABD и |angleACD. Это сложно напрямую.18. Давайте используем другое рассуждение. В треугольнике ADC:|angleADC=|angleADB+|angleBDC.Из △ABD: |angleADB=|angleABD.Рассмотрим △BDC. Внешний угол при вершине D для △ABD? Нет.19. Воспользуемся тем, что |angleABD20. Также\lvert angle ACD 21. Мы знаем: |angleADC>|angleADB=|angleABD.22. А что можно сказать про |angleACD? Он меньше |angleACB.23. Этого недостаточно, чтобы утверждать |angleADC>|angleACD, так как мы не знаем связь между |angleABD и |angleACD.24. Давайте попробуем другой путь, предложенный в подсказке: отметить точку C₁ на AB.25. Допустим, что AC|leAB. Тогда AC|leAD.26. Если AC=AD, то △ADC равнобедренный, |angleADC=|angleACD.27. Если AC28. Рассмотрим случайAC = AD . Тогда\lvert angle ADC = \rvert angle ACD .29. Но мы установили, что|angle ADC = |angle ADB + |angle BDC . Значит,|angle ADB + |angle BDC = |angle ACD .30. Отсюда\lvert angle ACD > \rvert angle ADB .31. Так как\lvert angle ADB = \rvert angle ABD , то\lvert angle ACD > \rvert angle ABD .32. То есть\lvert angle ACB > \rvert angle ABD .33. Это возможно. Противоречия нет. Значит, метод «от противного» требует более тонкого анализа или использования подсказки. Использование подсказки. Отметим на сторонеAB точку C_1такую, что AC_1 = AC . Нам нужно доказать, что C_1совпадает с B или лежит дальше? Нет, нужно доказать AC > AB , то есть AC > AD .Если предположить, чтоAC |le AB , то точка C_1лежит на отрезке AB (или совпадает с B ).СоединимD с C_1. Рассмотрим\triangle ADC_1и\triangle ADC .В\triangle ADC_1: AD = AB (по условию). AC_1 = AC (по построению).Это не дает равенства треугольников сразу. Корректное геометрическое доказательство через углы:1. Проведем лучBD до пересечения со стороной AC в точке E .2. В\triangle ABE угол|angle AEB является внешним для\triangle BEC ? Нет, для\triangle DEC .3. Рассмотрим\triangle DEC . Угол|angle AED (смежный с|angle CED ?) Нет,|angle AEB и|angle CEB смежные.4. Угол|angle ADB — внешний угол\triangle ADE ? Нет.5. Угол|angle ADC — внешний угол\triangle BDC ? Нет.6. Давайте посмотрим на\triangle ABD .\lvert angle ADB = \rvert angle ABD .7. Угол|angle ADC = |angle ADB + |angle BDC .8. Следовательно,|angle ADC > |angle ADB = |angle ABD .9. Теперь рассмотрим\triangle ABC . Луч BD лежит внутри угла B , поэтому\lvert angle ABD 10. Это не помогает сравнить с |angleC. Доказательство через неравенство сторон в треугольниках: Проведем отрезок CD и продлим его до пересечения со стороной AB в точке F.Тогда в △AFC: AC+AF>CF.В △BFC: BC+BF>CF.Это тоже сложно. Вернемся к классическому решению этой задачи: 1. Проведем луч BD до пересечения со стороной AC в точке E.2. Рассмотрим △ADE. Угол |angleADE — часть угла |angleADC? Нет, D лежит на BE. Значит, |angleADE и |angleADB смежные? Нет, A,D,E не коллинеарны. B,D,E коллинеарны.3. Поэтому |angleADE=180^°-|angleADB.4. В △ADE: сумма углов 180^°. |angleDAE+|angleAED+|angleADE=180^°.5. Подставим |angleADE: |angleDAE+|angleAED+180^°-|angleADB=180^°.6. Отсюда: |angleADB=|angleDAE+|angleAED.7. Заметим, что |angleDAE — это часть угла |angleDAC (точнее, |angleBAC).8. И |angleAED — это угол |angleAEB.9. Теперь рассмотрим △CDE. Угол |angleAED является внешним углом для △CDE при вершине E.10. Следовательно, |angleAED=|angleECD+|angleEDC.11. Подставим это в формулу из п.6:|angleADB=|angleDAE+(|angleECD+|angleEDC)12. Так как |angleADB=|angleABD (равнобедренный △ABD), то:|angleABD=|angleDAE+|angleECD+|angleEDC13. Все слагаемые справа положительны. Значит, |angleABD>|angleECD.14. Угол |angleECD — это тот же самый угол |angleACD (так как E лежит на AC).15. Итак, мы получили: |angleABD>|angleACD.16. Вернемся к углу |angleADC. Мы знаем, что |angleADC=|angleADB+|angleBDC.17. Значит, |angleADC>|angleADB.18. А так как |angleADB=|angleABD, то |angleADC>|angleABD.19. Из пункта 15 мы имеем |angleABD>|angleACD.20. Объединяя неравенства: |angleADC>|angleABD>|angleACD.21. Следовательно, |angleADC>|angleACD.22. В треугольнике ADC против большего угла лежит большая сторона. Угол |angleADC лежит против стороны AC, а угол |angleACD лежит против стороны AD.23. Значит, AC>AD.24. По условию AD=AB.25. Следовательно, AC>AB. Проверка. Логика последовательна: использование свойств внешнего угла треугольника позволило выразить угол при основании равнобедренного треугольника через сумму других углов, что дало строгое неравенство между углами |angleABD и |angleACD. Далее цепочка неравенств привела к сравнению углов при основании треугольника ADC, что доказывает требуемое неравенство сторон.