ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 452: Теорема Пифагора

Для решения задачи построения треугольника ABC по заданным элементам: стороне BC, сумме двух других сторон AB+AC и разности углов β-β′ (где β=angleB, β′=angleC), воспользуемся методом вспомогательного треугольника.

План анализа:

• Пусть искомый треугольник — ABC. Дано: сторона a=BC, сумма s=AB+AC и разность углов β-β′.
• Продлим сторону AC за точку A на отрезок AD, равный AB. Тогда длина нового отрезка CD будет равна CA+AD=CA+AB=s.
• Рассмотрим треугольник ABD. Так как AB=AD по построению, он является равнобедренным. Следовательно, внешние углы при основании связаны с углами исходного треугольника. Угол angleADB=angleABD.
• Угол angleBAC является внешним для треугольника ABD при вершине A? Нет, angleDAB смежный с angleCAB. Давайте посмотрим на углы в треугольнике CBD. В треугольнике CBD известны: сторона CB=a, сторона CD=s и угол angleCBD?
• Найдем связь углов. В равнобедренном △ABD: angleADB=angleABD=x. Тогда angleDAB=180^o-2x. Угол angleCAB=180^o-angleDAB=2x. По теореме о внешнем угле для △ABC: angleCAB=angleB+angleC? Нет, это неверно. Сумма углов △ABC: angleA+angleB+angleC=180^o. Значит, angleA=180^o-(angleB+angleC). Отсюда 2x=180^o-(angleB+angleC), или x=90^o-angleB+angleC/2.
• Теперь рассмотрим угол angleCBD. Он равен angleCBA+angleABD=angleB+x. Подставим x: angleCBD=angleB+90^o-angleB+angleC/2=90^o+angleB-angleC/2.
• Таким образом, мы можем построить вспомогательный треугольник CBD по двум сторонам (CB=a, CD=s) и углу между ними (angleCBD=90^o+β-β′/2).

Пошаговое решение (построение):

1. Строим угол angleXBY, равный данному углу β (угол B).
2. На одной из сторон угла откладываем отрезок BC, равный данной стороне a.
3. Вычисляем величину угла angleCBD. Для этого строим прямой угол (90^o) и прибавляем к нему половину разности данных углов β-β′/2. Получаем угол angleKBL=90^o+β-β′/2.
4. От луча BC в сторону, противоположную внутренности угла B (или так, чтобы точка D легла правильно), откладываем угол, равный вычисленному angleCBD. На полученном луче откладываем отрезок BD... Стоп, в анализе мы использовали треугольник CBD. Вернемся к указанию учебника: «На продолжении стороны CA за точку A отложить отрезок AA_1, равный отрезку AB» . Это означает, что мы строим треугольник CBA₁.
5. Давайте переформулируем построение согласно анализу треугольника CBA₁ (где A₁ — наша точка D). Мы знаем сторону CB=a, сторону CA₁=s и угол angleCBA₁. Из анализа выше: angleCBA₁=angleB+angleABA₁. Так как △ABA₁ равнобедренный (AB=AA₁), то angleABA₁=angleAA₁B. Пусть этот угол равен θ. Тогда angleBAC=2θ (внешний угол). Также angleBCA₁=angleC. В △CBA₁: angleCBA₁=180^o-angleC-θ. Но angleB=angleCBA₁-θ. Это сложно. Проще использовать формулу: angleCBA₁=90^o+β-β′/2.
6. Исправленный алгоритм построения:
   • Строим произвольный угол angleMKN, равный β-β′/2 (половина разности углов).
   • К этому углу приставляем прямой угол, получая угол angleL=90^o+β-β′/2.
   • Строим треугольник CBA₁ по двум сторонам и углу между ними:
     • Сторона CB=a (дана).
     • Сторона CA₁=s (дана сумма AB+AC).
     • Угол angleBCA₁? Нет, угол при вершине B нам известен как angleCBA₁. Построим его при вершине B относительно стороны BC. То есть, откладываем отрезок BC=a. При вершине B строим угол angleCBX=90^o+β-β′/2. На луче BX откладываем отрезок BA₁? Нет, в треугольнике CBA₁ сторона CA₁=s. Значит, нужно строить угол при вершине C? Или использовать окружность радиуса s с центром C.
   • Более надежный путь через указание учебника: Строим △CBA₁. В нем CB=a, CA₁=s. Какой угол известен? Указание говорит построить сначала △CBA₁. Обычно в таких задачах строят по стороне, сумме и разности углов через построение угла 90^o-β-β′/2 или подобного. Проверим угол angleBA₁C. В △ABA₁ (AB=AA₁) угол angleBA₁A=angleABA₁. Обозначим его θ. Тогда angleBAC=2θ. В △ABC: β+β′+2θ=180^o→θ=90^o-β+β′/2. В △CBA₁: угол angleCA₁B=θ=90^o-β+β′/2. Этот угол не выражается только через разность. Значит, нужно искать другой угол. Угол angleCBA₁=β+θ=β+90^o-β+β′/2=90^o+β-β′/2. Да! Угол при вершине B во вспомогательном треугольнике CBA₁ равен 90^o+β-β′/2.
7. Финальный порядок действий:
   1. Строим угол angleθ=β-β′/2.
   2. Строим угол angleβ_aux=90^o+θ.
   3. Строим треугольник CBA₁:
      • Откладываем отрезок BC=a.
      • При вершине B строим угол, равный angleβ_aux.
      • Из точки C проводим дугу радиусом R=s (сумма сторон). Она пересекает луч угла angleβ_aux в точке A₁.
   4. Находим середину отрезка AA₁? Нет, точка A лежит на отрезке CA₁. Нам нужно восстановить точку A. Поскольку CA₁=CA+AA₁=CA+AB=s, а A₁ уже найдена, то точка A делит CA₁ так, что AB=AA₁. Точка A находится на пересечении отрезка CA₁ и серединного перпендикуляра к отрезку BA₁? Нет. Треугольник ABA₁ равнобедренный с основанием BA₁? Нет, боковые стороны AB и AA₁. Значит, вершина A лежит на серединном перпендикуляре к основанию BA₁? Нет, если AB=AA₁, то A равноудалена от B и A₁. Значит, A лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BA₁.
   5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку BA₁. Его пересечение с отрезком CA₁ дает искомую точку A.
   6. Треугольник ABC построен.

Проверка:

В построенном треугольнике ABC: сторона BC=a по условию. Точка A лежит на серединном перпендикуляре к BA₁, значит AB=AA₁. Тогда AB+AC=AA₁+AC=CA₁=s. Угол angleCBA₁=90^o+β-β′/2. Так как △ABA₁ равнобедренный, angleABA₁=angleAA₁B. Пусть они равны x. Тогда angleBAC=2x (внешний угол). В △CBA₁: angleC+angleCBA₁+x=180^o. Подставляем angleCBA₁: β′+(90^o+β-β′/2)+x=180^o. Отсюда x=90^o-β′-β-β′/2=90^o-β+β′/2. Тогда angleBAC=2(90^o-β+β′/2)=180^o-(β+β′). Сумма углов △ABC: (180^o-β-β′)+β+β′=180^o. Все сходится. Разность углов при стороне BC действительно равна β-β′, так как мы использовали эту величину при построении угла angleCBA₁.