ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 456: Теорема Пифагора

План решения.

Чтобы построить искомую окружность, нужно найти её центр O и радиус R. По условию окружность проходит через точку B, значит, расстояние от центра до этой точки равно радиусу: OB=R. Также окружность касается прямой m в точке A. Согласно свойству касательной к окружности, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, центр O должен лежать на прямой, проходящей через точку A перпендикулярно прямой m. Кроме того, так как точки A и B лежат на окружности, центр O равноудалён от них (OA=OB), то есть лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Ход построения.

1. Проведём прямую l, проходящую через точку A перпендикулярно данной прямой m. Центр искомой окружности будет лежать на этой прямой.
2. Соединим точки A и B отрезком AB.
3. Построим серединный перпендикуляр k к отрезку AB. Для этого из точек A и B проводим дуги одинакового радиуса (большего половины AB) до пересечения, затем соединяем точки пересечения.
4. Найдём точку пересечения O прямой l и серединного перпендикуляра k. Эта точка является центром искомой окружности.
5. Проведём окружность с центром в точке O и радиусом R=OA (или R=OB).

Доказательство и проверка.

Рассмотрим полученную окружность (O;R). 1. Так как точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то по свойству точек серединного перпендикуляра OA=OB. Значит, радиус R=OA равен расстоянию до точки B, поэтому точка B лежит на окружности. 2. Точка O лежит на прямой l, которая перпендикулярна прямой m в точке A. Это означает, что радиус OA перпендикулярен прямой m. По признаку касательной, если радиус, проведённый в конец отрезка, лежащего на прямой, перпендикулярен этому отрезку, то прямая является касательной. Следовательно, прямая m касается окружности в точке A. Таким образом, построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.