ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 457: Теорема Пифагора

Для решения задачи построения окружности, касающейся прямой m в точке A и данной окружности с центром C и радиусом r, воспользуемся методом параллельного переноса. Идея состоит в том, чтобы свести задачу касания двух окружностей к задаче касания окружности и точки (или другой окружности), изменив условия на величину радиуса r. План построения: Проведём прямую m₁, параллельную данной прямой m, так чтобы расстояние между ними было равно r. Направление смещения выбираем исходя из того, будет ли искомая окружность охватывать данную или находиться вне её (обычно рассматривают оба случая или один конкретный по чертежу). Пусть точка A₁ — проекция точки A на прямую m₁ (так как AA₁⊥m и AA₁=r).Рассмотрим вспомогательную задачу: построить окружность с центром O, которая проходит через центр C данной окружности и касается прямой m₁ в точке A₁. Центр такой окружности должен лежать на перпендикуляре к m₁ в точке A₁ (так как она касается прямой) и на серединном перпендикуляре к отрезку CA₁ (так как проходит через C и A₁).Найдём точку O как пересечение этих двух геометрических мест точек.Искомая окружность имеет тот же центр O. Её радиус R равен расстоянию от O до точки A (так как она касается m в A). Заметим, что если мы строили вспомогательную окружность, проходящую через C и касающуюся m₁, то её радиус R′=OA₁. Поскольку OA=OA₁-r (или +r в зависимости от взаимного расположения), то искомый радиус отличается от построенного на величину r. Обоснование: Если искомая окружность касается прямой m в точке A, то её центр O лежит на перпендикуляре к m в точке A. Если эта же окружность касается данной окружности (C;r) внешним образом, то расстояние между центрами OC равно сумме радиусов: OC=R+r. При этом радиус искомой окружности R=OA. Так как O лежит на перпендикуляре к m, а m₁ параллельна m на расстоянии r, то расстояние от O до m₁ равно |OA - r| или OA+r. Вспомогательная окружность с центром O, проходящая через C и касающаяся m₁ в A₁, удовлетворяет условию OC=OA₁ (радиус вспомогательной окружности). Подставляя OA₁=OA±r, получаем эквивалентность условий касания.