ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 461: Теорема Пифагора

План решения.

Для построения искомой хорды KM воспользуемся методом геометрических мест точек. Пусть O — центр данной окружности. Введём вспомогательную точку X на хорде KM так, чтобы выполнялось равенство KX=AM. Тогда разность отрезков AK-AM можно преобразовать через положение точки X. Наша задача сводится к нахождению такого положения хорды, при котором точка X обладает определённым свойством относительно центра O и точки A.

Вычисление и обоснование.

Рассмотрим отрезок KM, проходящий через точку A. Порядок точек на прямой: K,A,M или M,A,K. Без ограничения общности предположим порядок K,A,M. Тогда AK+AM=KM. По условию задачи требуется, чтобы AK-AM=PQ. Введём точку X на отрезке KA (или его продолжении) так, что KX=AM. Поскольку X лежит на хорде, а K и M симметричны относительно перпендикуляра из центра O к хорде, то середина отрезка XM совпадает с серединой хорды KM. Обозначим середину хорды KM как H. Тогда OH⊥KM. Заметим, что AX=AK-KX=AK-AM. По условию AK-AM=PQ, следовательно, длина отрезка AX равна длине данного отрезка PQ: AX=PQ.

Теперь рассмотрим треугольник OXA. Так как H — середина KM, то HK=HM. Также по построению KX=AM. Выразим координаты или векторы. Проще использовать свойства проекций. Пусть H — проекция O на прямую KM. Тогда HK=HM. Отрезок HX=HK-KX=HM-AM. Но HM=HA+AM, значит HX=HA+AM-AM=HA. Таким образом, H является серединой отрезка XA? Нет, проверим знаки. Если порядок K,X,A,M, то KX=AM. XA=KA-KX=KA-AM=PQ. Середина KM есть H. KH=KM/2. XH=KH-KX=KM/2-AM. AH=AH. Это сложно. Вернёмся к указанию: доказать, что OX=OA. Если OX=OA, то точка X лежит на окружности с центром в середине отрезка OA? Нет, это означает, что треугольник OXA равнобедренный. Но более сильное утверждение следует из того, что X получается из A сдвигом вдоль хорды на величину PQ. Давайте используем другой подход, основанный на указании. Пусть X — точка такая, что KX=AM. Тогда AX=AK-KX=AK-AM=PQ. Значит, точка X находится на расстоянии PQ от точки A вдоль хорды. Также известно, что если спроектировать центр O на хорду в точку H, то H — середина KM. Тогда XH=|KH-KX|=|KM/2-AM|=|KA+AM/2-AM|=|KA-AM/2|=PQ/2. Итак, расстояние от проекции центра H до точки X постоянно и равно PQ/2. А расстояние от H до A? HA=|KA-KH|=|KA-KA+AM/2|=KA-AM/2=PQ/2. Получается, XH=HA=PQ/2. То есть H — середина отрезка XA. Так как OH⊥KM и H — середина XA, то треугольник OXA является равнобедренным с основанием XA? Нет, высота OH является медианой к стороне XA только если O лежит на перпендикуляре к XA в точке H. Да, OH⊥XA (так как X,A на хорде). Следовательно, OH — серединный перпендикуляр к отрезку XA. Значит, любая точка на прямой OH равноудалена от X и A. В частности, OX=OA.

Алгоритм построения.

1. Постройте окружность с центром O радиусом OA (обозначим её β).
2. На данной окружности β найдите точку X такую, что AX=PQ. Для этого проведите окружность с центром A радиусом PQ. Точки пересечения этой окружности с окружностью β будут являться возможными положениями точки X. Пусть одна из таких точек — X₁.
3. Проведите прямую AX₁. Эта прямая содержит искомую хорду.
4. Пересечение прямой AX₁ с исходной окружностью даёт концы хорды K и M.

Проверка.

Пусть мы построили хорду KM через A так, что существует точка X на ней, где AX=PQ и OX=OA. Так как OX=OA, то O лежит на серединном перпендикуляре к AX. Но O также лежит на перпендикуляре к хорде KM в её середине H. Это возможно только если H совпадает с серединой AX. То есть AH=HX=PQ/2. Тогда AK=AH+HK и AM=HM-HA (при соответствующем порядке). Разность AK-AM будет равна PQ. Условие выполнено.