ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 458: Теорема Пифагора

План решения.

Чтобы построить окружность, вписанную в угол и касающуюся его стороны в заданной точке A, нужно найти центр этой окружности. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Кроме того, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне угла. Следовательно, центр искомой окружности является точкой пересечения биссектрисы угла и прямой, проходящей через точку A перпендикулярно стороне угла.

Ход построения.

1. Пусть дан неразвёрнутый угол с вершиной O и сторонами OA и OB. Точка A лежит на стороне OA.
2. Проведём биссектрису угла O. Для этого из точки O как из центра проводим дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла в точках M и N. Затем из точек M и N проводим дуги равных радиусов до их пересечения в точке K. Прямая OK — искомая биссектриса.
3. В точке A восстановим перпендикуляр к стороне OA. Для этого можно использовать стандартный приём: отложить на прямой OA по обе стороны от точки A равные отрезки (если позволяет длина стороны) или использовать циркуль для построения перпендикуляра к прямой в данной точке. Пусть полученная прямая называется l.
4. Найдём точку пересечения I биссектрисы OK и прямой l. Эта точка I будет центром искомой окружности.
5. Соединим точку I с точкой A. Отрезок IA является радиусом построенной окружности.
6. Строим окружность с центром в точке I и радиусом IA.

Доказательство и проверка.

По построению центр I лежит на биссектрисе угла O, значит, он равноудалён от сторон угла OA и OB. Расстояние от точки I до стороны OA равно длине перпендикуляра IA, так как мы построили IA⊥OA. Поскольку I равноудалён от сторон, расстояние от I до OB также равно IA. Значит, окружность с центром I и радиусом IA касается обеих сторон угла, то есть вписана в него. При этом она проходит через точку A и имеет общий касательный OA в этой точке, что удовлетворяет условию задачи.