ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 454: Теорема Пифагора

План решения.

Задача сводится к построению общей касательной к двум непересекающимся окружностям. Касательные бывают двух типов: внешние (окружности лежат по одну сторону от прямой) и внутренние (окружности лежат по разные стороны). Для каждого типа используется метод подобия или вспомогательного треугольника, опираясь на свойства радиусов, перпендикулярных касательной. Мы будем строить вспомогательную окружность с центром в одной из данных окружностей и радиусом, равным разности или сумме радиусов, чтобы найти точку касания через геометрическое место точек.

Вычисление и построение.

Пусть даны две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами R и r соответственно (R>r).

Случай 1: Внешняя общая касательная.

1. Рассмотрим прямую AB, касающуюся обеих окружностей в точках A и B. Тогда O₁A⊥AB и O₂B⊥AB.
2. На радиусе O₁A отложим отрезок AK=r так, что точка K лежит между O₁ и A. Тогда O₁K=R-r.
3. Проведем прямую через K, параллельную AB. Она будет перпендикулярна O₂B и пройдет через центр O₂? Нет, рассмотрим четырехугольник ABOK (где O — проекция). Проще использовать свойство прямоугольного треугольника. Если провести через O₂ прямую, параллельную AB, она пересечет O₁A в точке K′. Треугольник O₁K′O₂ является прямоугольным с гипотенузой O₁O₂ и катетом O₁K′=R-r.
4. Таким образом, точка K′ видна из концов отрезка O₁O₂ под углом 90^°. Значит, K′ лежит на окружности, построенной на отрезке O₁O₂ как на диаметре.
5. Одновременно расстояние O₂K′=R-r (так как O₂K′ параллельно и равно AB? Нет, O₂K′ — это горизонтальная составляющая). Уточним алгоритм:
   а) Построим окружность ω₁ с центром O₁ и радиусом R-r.
   \nb) Построим окружность ω₂ с центром O₂ и радиусом d=O₁O₂? Нет.
   \nc) Правильный способ: Точка касания внешней касательной определяется через подобие. Но следуя указанию: найдем точку K, такую что ∠O₁KO₂=90^° и O₂K=R-r? В указании сказано: "показать, что ∠O₁KO₂=90^°". Это верно для точки K на радиусе O₁A, если мы спроецируем O₂ на этот радиус. Расстояние от O₂ до прямой O₁A равно длине касательной? Нет.
   \nd) Давайте воспользуемся стандартным методом построения через вспомогательную окружность:
   1. Строим окружность с центром O₁ и радиусом R-r.
   2. Строим окружность с диаметром O₁O₂.
   3. Точки пересечения этих двух окружностей дают направление радиуса к точке касания на вспомогательной окружности. Пусть T — одна из таких точек. Тогда луч O₁T пересекает исходную окружность O₁ в точке A.
   4. Через A проводим прямую, перпендикулярную O₁A. Это и есть внешняя касательная.

Случай 2: Внутренняя общая касательная.

1. Для внутренних касательных используем сумму радиусов.
   1. Строим окружность с центром O₁ и радиусом R+r.
   2. Строим окружность с диаметром O₁O₂.
   3. Точки пересечения дают направления. Луч O₁T пересекает окружность O₁ в точке A.
   4. Через A проводим прямую, перпендикулярную O₁A. Это внутренняя касательная.

Проверка и количество касательных.

По условию окружности не имеют общих точек. Это означает, что они либо лежат вне друг друга (не пересекаются и не содержат одна другую), либо одна окружность лежит внутри другой без касания.

• Если окружности лежат вне друг друга (O₁O₂>R+r):
  - Вспомогательная окружность радиуса R-r и окружность на диаметре O₁O₂ пересекаются в двух точках (так как R-r<O₁O₂/2 обычно выполняется при удалении центров, но точнее: расстояние от центра O₁ до линии пересечения меньше радиуса). Фактически, если d>R+r, то d>R-r всегда. Пересечение существует, если |R_aux-R_diam|≤d/2≤R_aux+R_diam? Нет, проще: окружность с центром O₁ радиуса R-r и окружность с центром середины O₁O₂ радиуса d/2. Они пересекаются, если d/2-(R-r)<d/2<d/2+(R-r), что верно. Идут две внешние касательные.
  - Вспомогательная окружность радиуса R+r и окружность на диаметре O₁O₂. Они пересекаются, если d>R+r. Так как по условию нет общих точек и они вне друг друга, то d>R+r. Следовательно, есть две точки пересечения, дающие две внутренние касательные.
  - Итого: 4 общие касательные.
• Если одна окружность лежит внутри другой (O₁O₂<R-r):
  - Для внешних касательных нужно построить окружность радиуса R-r. Окружность на диаметре O₁O₂ имеет радиус d/2. Чтобы было пересечение, нужно d/2+d/2≥R-r? Нет, условие пересечения двух окружностей (центры O₁ и середина M): |R₁-R₂|≤OM≤R₁+R₂. Здесь R₁=R-r, R₂=d/2, OM=d/2. Нужно |R-r-d/2|≤d/2. Это эквивалентно R-r≤d. Но у нас d<R-r. Значит, пересечений нет. Внешних касательных нет.
  - Для внутренних касательных нужна окружность радиуса R+r. Ясно, что R+r>d, поэтому пересечений тоже нет.
  - Итого: 0 общих касательных.

В условии сказано "без общих точек". Обычно в школьном курсе геометрии под этим подразумевается взаимное расположение "окружности вне друг друга", если не оговорено иное про вложенность. Однако строго математически "без общих точек" включает и случай вложенности. Но задача просит "построить", что подразумевает возможность построения. Если бы окружности были вложены, построить общую касательную невозможно. Следовательно, рассматриваем случай внешнего расположения.

Ответ зависит от конкретного взаимного расположения, но классическая задача на "общую касательную" предполагает внешний случай.