ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 453: Теорема Пифагора

План решения.

Для доказательства равенства отрезков AB и O₁O₂ воспользуемся свойствами касательных к окружности. Проведем радиусы в точки касания прямой m с окружностями: O₁A и O₂B. По свойству касательной, эти радиусы перпендикулярны прямой m, то есть O₁A⊥m и O₂B⊥m. Поскольку обе окружности равны, их радиусы равны между собой: O₁A=O₂B. Таким образом, мы можем рассмотреть четырехугольник O₁ABO₂.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим четырехугольник O₁ABO₂. Так как O₁A⊥AB и O₂B⊥AB (так как AB лежит на прямой m), то стороны O₁A и O₂B параллельны (O₁A∥O₂B). При этом они равны по условию задачи (радиусы равных окружностей).

Четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна и равна, является параллелограммом. Следовательно, O₁ABO₂ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, сторона AB равна стороне O₁O₂:

Это и требовалось доказать.

Проверка и замечание о типе касания.

В условии сказано, что окружности имеют одну общую точку. Это может быть внешнее или внутреннее касание. Однако прямая m касается обеих окружностей в точках A и B. Если бы касание было внутренним, общая касательная в точке касания окружностей совпадала бы с общей внутренней касательной, но тогда точки A и B могли бы не образовывать такой простой параллелограмм с центрами, если бы прямая m была другой. Но для двух равных окружностей внутреннее касание невозможно (один круг должен быть внутри другого, а при равенстве радиусов это означает совпадение окружностей, что противоречит наличию двух разных центров O₁ и O₂). Следовательно, речь идет только о внешнем касании.

При внешнем касании равных окружностей центры O_1,O₂ и точка касания M лежат на одной прямой, а расстояние O₁O₂=R+R=2R. В нашем случае четырехугольник O₁ABO₂ оказывается прямоугольником, так как углы при вершинах A и B прямые. Диагональ O₁O₂ равна стороне AB? Нет, в прямоугольнике диагональ больше стороны. Подождите, давайте перепроверим геометрию.

Если O₁ABO₂ — параллелограмм, то AB=O₁O₂. Это верно для любого параллелограмма. Является ли он прямоугольником? Да, так как O₁A⊥AB. Значит, O₁ABO₂ — прямоугольник. В прямоугольнике противоположные стороны равны. Сторона AB противолежит стороне O₁O₂. Следовательно, AB=O₁O₂. Доказательство корректно.