ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 459: Теорема Пифагора

План решения.

Задача на построение требует найти точки B и C на сторонах угла так, чтобы сумма длин отрезков AB+BC+CA была минимальной. Ключевая идея — использовать свойства симметрии для «разворачивания» ломаной в прямую линию. Мы построим две вспомогательные точки: одну симметричную точке A относительно первой стороны угла, другую — относительно второй стороны. Затем соединим эти две новые точки прямой линией. Точки пересечения этой линии со сторонами угла и будут искомыми точками B и C.

Ход построения и обоснование.

1. Пусть дан угол с вершиной O и внутренняя точка A. Обозначим стороны угла как лучи l₁ и l₂.
2. Построим точку M, симметричную точке A относительно стороны l₁. Для этого опустим перпендикуляр из A на l₁ и продолжим его за сторону на такое же расстояние. По свойству симметрии, для любой точки X на стороне l₁ выполняется равенство AX=MX. В частности, если точка B лежит на l₁, то AB=MB.
3. Построим точку K, симметричную точке A относительно стороны l₂. Аналогично, для любой точки Y на стороне l₂ выполняется равенство AY=KY. Если точка C лежит на l₂, то AC=KC.
4. Проведём прямую, проходящую через точки M и K. Пусть эта прямая пересекает сторону l₁ в точке B, а сторону l₂ в точке C.
5. Рассмотрим периметр полученного треугольника ABC: P_ABC=AB+BC+CA.
6. Заменим отрезки AB и CA на равные им отрезки MB и KC соответственно (так как B лежит на оси симметрии l₁, а C — на оси симметрии l₂): P_ABC=MB+BC+CK.
7. Так как точки M,B,C,K лежат на одной прямой (по построению), сумма MB+BC+CK равна длине отрезка MK. Таким образом, периметр треугольника ABC равен длине отрезка MK.
8. Докажем, что это значение является наименьшим. Возьмём любые другие точки B′ на l₁ и C′ на l₂. Периметр треугольника AB′C′ будет равен AB′+B′C′+C′A. Используя симметрию, получаем AB′=MB′ и AC′=KC′. Тогда периметр равен MB′+B′C′+C′K. Это длина ломаной MB′C′K, соединяющей точки M и K. Согласно аксиоме геометрии, кратчайшее расстояние между двумя точками — это отрезок прямой. Следовательно, длина ломаной MB′C′K всегда больше или равна длине отрезка MK. Равенство достигается только тогда, когда все точки лежат на одной прямой, то есть когда B′=B и C′=C.

Проверка и вывод.

Мы доказали, что периметр треугольника ABC, построенного описанным способом, равен длине отрезка MK, который является кратчайшим путём между симметричными образами точки A. Любое другое положение точек B и C даст больший периметр. Условие задачи выполнено: точки найдены, минимальность обоснована.