ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 460: Теорема Пифагора

План решения:

Для построения окружности необходимо найти её центр и радиус. По условию, центр O лежит на одном из катетов (допустим, на катете AC). Окружность проходит через вершину прямого угла C, значит, расстояние от центра до этой точки равно радиусу: OC=R. Также окружность касается гипотенузы AB, что означает, что расстояние от центра O до прямой AB также равно радиусу R. Таким образом, точка O должна быть равноудалена от точки C и прямой AB. Геометрическое место точек, равноудалённых от точки и прямой, — это парабола, но в рамках школьной геометрии мы используем свойство биссектрисы угла или перпендикуляра. Однако более простой подход: если опустить перпендикуляр OD из центра O на гипотенузу AB, то треугольник ADO будет прямоугольным. Но ключевая идея указания: центр равноудалён от вершины C и стороны AB. Это свойство характерно для точек, лежащих на биссектрисе угла, образованного стороной AC и... нет, давайте вспомним определение параболы. В школьном курсе чаще используется другой приём. Если окружность касается AB и проходит через C, а центр на AC, то пусть D — точка касания. Тогда OD⊥AB и OD=OC. Рассмотрим треугольник AOD и... Нет, проще использовать свойство биссектрисы внешнего или внутреннего угла?

Давайте разберёмся строго. Центр O лежит на катете AC. Радиус R=OC. Расстояние от O до AB равно R. Значит, O находится на расстоянии OC от прямой AB. Проведем прямую, параллельную AB на расстоянии OC? Нет, OC неизвестно.

Вернемся к указанию: «центр равноудалён от вершины прямого угла и гипотенузы». Точка, равноудалённая от точки C и прямой AB, лежит на параболе с фокусом C и директрисой AB. Построение такой точки циркулем и линейкой возможно через пересечение с катетом AC. Но есть ли более элементарный способ?

Рассмотрим угол A. Пусть O — искомый центр. Опустим перпендикуляр OD на AB. Треугольник ADO прямоугольный. OD=OC. Обозначим OC=x. Тогда AO=AC-x. В прямоугольном треугольнике ADO: sinA=OD/AO=x/AC-x. Отсюда можно выразить x, но нам нужно геометрическое построение.

Существует классический приём: построение биссектрисы угла между катетом и линией, симметричной гипотенузе относительно катета? Или проще: пусть C′ — точка, симметричная C относительно прямой AB? Нет.

Воспользуемся следующим свойством. Если окружность касается прямой AB в точке D и проходит через точку C, а центр O лежит на перпендикуляре к AB в точке D, то O лежит на серединном перпендикуляре к хорде CD. Но у нас центр на катете AC.

Правильное решение через биссектрису: Рассмотрим угол A. Пусть AD — проекция AC на AB? Нет.

Давайте применим метод подобия или тригонометрии для понимания, а затем переведем в построение. OC/AC-OC=sinA. Значит, OC=AC·sinA/1+sinA.

Геометрическое построение:

1. Проведём высоту CH из вершины прямого угла C на гипотенузу AB.
2. На продолжении катета AC за точку A отложим отрезок AK, равный высоте CH? Нет.

Более стандартное решение для этого типа задач (построение окружности, касающейся одной стороны угла и проходящей через точку на другой стороне, с центром на второй стороне):

Пусть искомая окружность имеет центр O на катете AC и касается гипотенузы AB в точке D. Тогда OD⊥AB и OD=OC. Следовательно, точка O лежит на биссектрисе угла, образованного прямой AC и прямой, симметричной AB относительно... нет.

Заметим, что O равноудалено от точки C и прямой AB. Это определение параболы. Но так как O лежит на прямой AC, то O является точкой пересечения прямой AC и параболы. Построить это сложно без конических сечений.

Однако, есть трюк. Рассмотрим угол A. Пусть мы построим биссектрису угла A. Она не подходит.

Давайте посмотрим на задачу иначе. Пусть E — точка на луче AC такая, что AE=AB? Нет.

Используем свойство касательной и секущей? Нет.

Вернемся к формуле OC=AC·sinA/1+sinA. Заметим, что sinA=BC/AB. Тогда OC=AC·BC/AB+BC.

Это выражение можно построить с помощью теоремы Фалеса или подобных треугольников.

Пошаговое построение:

1. Дан треугольник ABC (∠C=90^°).
2. На продолжении катета BC за точку B отложим отрезок BK, равный гипотенузе AB. То есть CK=CB+BA.
3. Соединим точку K с вершиной A.
4. Проведём прямую, параллельную KA, проходящую через точку B. Пусть она пересекает катет AC в точке O.
5. Точка O — искомый центр окружности.
6. Радиусом OC строим окружность с центром O.

Обоснование:

Рассмотрим треугольники CBK и COB? Нет, рассмотрим подобные треугольники, образованные параллельными прямыми. Так как BO∥AK, то по теореме Фалеса для угла C: CO/CA=CB/CK Подставим CK=CB+BK=CB+AB: CO/CA=CB/CB+AB Отсюда CO=CA·CB/CB+AB Сравниваем с выведенной ранее формулой OC=AC·BC/AB+BC. Они совпадают!

Таким образом, найденная точка O действительно удовлетворяет условию равенства расстояний до C и до прямой AB (так как вывод формулы основывался именно на этом условии).

Проверка:

Если O найдено таким способом, то OC=R. Расстояние от O до AB равно d. Из прямоугольного треугольника ADO (где D — проекция O на AB) имеем d=AOsinA=(AC-OC)BC/AB. Нам нужно проверить, что d=OC.

Подставим OC=AC·BC/AB+BC:

AO=AC-AC·BC/AB+BC=AC(1-BC/AB+BC)=ACAB/AB+BC

d=AO·BC/AB=ACAB/AB+BC·BC/AB=AC·BC/AB+BC=OC

Условие выполнено. Окружность с центром O и радиусом OC проходит через C и касается AB.