ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 464: Четырёхугольник

План решения.

Чтобы найти количество диагоналей выпуклого n-угольника, воспользуемся общей формулой. Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних (так как стороны не являются диагоналями). Таким образом, из одной вершины выходит n-3 диагоналей. Поскольку всего вершин n, то общее число таких отрезков равно n(n-3). Однако каждая диагональ соединяет две вершины и была посчитана дважды (один раз из первой вершины и один раз из второй). Следовательно, итоговая формула для количества диагоналей d имеет вид:

Вычисление по пунктам.

а) Для выпуклого пятиугольника n=5. Подставим значение в формулу:

б) Для выпуклого двенадцатиугольника n=12. Вычислим:

в) Для выпуклого двадцатипятиугольника n=25. Выполним расчёт:

Проверка.

Рассмотрим случай с пятиугольником (n=5). В нём действительно можно провести ровно 5 диагоналей, которые образуют правильную звезду внутри фигуры. Это подтверждает работу формулы на простом примере. Для больших многоугольников логика остаётся неизменной: мы исключаем смежные вершины и делим результат на два во избежание двойного счёта. Полученные значения совпадают с ожидаемыми результатами для данных типов многоугольников.