Задание 3.370: Свойства и признаки делимости

План решения: Сначала выпишем числа от 1 до 40. Затем подчеркнём каждое второе чёрным, каждое пятое красным, каждое десятое зелёным. После этого определим, какие числа подчеркнуты каким цветом и на какие числа они делятся. В конце найдём числа, которые не делятся ни на 2, ни на 5, ни на 10.

Выполнение:

1. Числа от 1 до 40: 1, 2, 3, ..., 40.
2. Подчёркиваем каждое второе чёрным: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40.
3. Подчёркиваем каждое пятое красным: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
4. Подчёркиваем каждое десятое зелёным: 10, 20, 30, 40.

а) Числа, подчеркнутые чёрным (каждое второе): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40.
Все эти числа делятся на 2, так как они чётные.

б) Числа, подчеркнутые красным (каждое пятое): 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
Все эти числа делятся на 5.

в) Числа, подчеркнутые двумя и тремя цветами:
Подчёркнутые двумя цветами:
- Чёрным и красным: числа, которые являются и вторыми, и пятыми — это числа, делящиеся и на 2, и на 5, то есть на 10. Это 10, 20, 30, 40.
Подчёркнутые тремя цветами:
- Чёрным, красным и зелёным: числа, которые являются вторыми, пятыми и десятыми — это те же 10, 20, 30, 40, так как десятое подчёркивание зелёным совпадает с числами, делящимися на 10.
Таким образом, числа 10, 20, 30, 40 подчеркнуты всеми тремя цветами и делятся на 10.

г) Числа, которые не делятся ни на 2, ни на 5, ни на 10:
Это числа от 1 до 40, которые не делятся на 2 и не делятся на 5. Проверим числа, не входящие в списки чётных и кратных 5:
1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39.
Все эти числа не делятся на 2, 5 и 10.

Проверка: Все подчёркивания соответствуют делимости на 2, 5 и 10. Числа с несколькими подчёркиваниями делятся на соответствующие числа. Числа без подчёркиваний не делятся ни на 2, ни на 5, ни на 10.