ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 4.72: Площадь. Формула площади прямоугольника

План решения:

• Разберём структуру квадрата MNSO и проведённых в нём отрезков. Отрезки MS и NO являются диагоналями квадрата.
• Диагонали квадрата делят его на четыре равных прямоугольных треугольника.
• Для пункта а) найдём площадь всего квадрата, а затем разделим её на 4.
• Для пункта б) определим, из каких частей складывается новый квадрат, и вычислим его площадь.

Вычисления:

1. Найдём площадь исходного квадрата MNSO. Сторона квадрата равна 6 см. S_{квадрата} =a²=6²=36 см²
2. Отрезки MS и NO — это диагонали. Они пересекаются в центре квадрата и делят его на 4 равных треугольника (△MON, △NOS, △SOK, △KOM, где K — точка пересечения диагоналей). Площадь каждого такого треугольника: S_△=S_{квадрата}/4 =36/4=9 см² Таким образом, площадь каждого из четырёх треугольников равна 9 см².
3. Рассмотрим пункт б). Из двух таких треугольников можно сложить новый квадрат. Например, если взять два соседних треугольника (например, △MON и △NOS), то при их соединении по общей стороне (диагонали квадрата) получится большой треугольник, но не квадрат. Однако, если мы возьмём два треугольника, образованных половинами диагоналей как катетами, то есть стандартные четвертинки квадрата, то из двух таких равнобедренных прямоугольных треугольников можно составить квадрат, у которого сторона равна половине диагонали исходного квадрата? Нет, давайте посмотрим внимательнее. Обычно в таких задачах подразумевается, что «новый квадрат» складывается из двух треугольников, которые являются частями исходного. Если взять два треугольника, например, △MOK и △NOK (где K — центр), они образуют треугольник MON. Это не квадрат. Но если рассмотреть треугольники, на которые диагонали делят квадрат, то каждый из них имеет катеты, равные половине диагонали. Диагональ квадрата со стороной a=6 равна d=a2=62. Половина диагонали d/2=32. Треугольник с катетами 32 и 32 является равнобедренным прямоугольным. Его гипотенуза равна стороне исходного квадрата 6. Если сложить два таких треугольника по их гипотенузам, мы получим исходный квадрат. Если сложить два таких треугольника по их катетам, мы получим... квадрат со стороной, равной катету? Нет, тогда получится параллелограмм или другой многоугольник. Давайте перечитаем условие: «Из двух треугольников сложили новый квадрат». Четыре треугольника, на которые диагонали делят квадрат, равны между собой. Возьмём любые два из них. Можно ли из двух одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольников составить квадрат? Да, если совместить их по гипотенузе, получится квадрат (исходный). Но нам нужен новый квадрат. Скорее всего, речь идёт о том, что из двух треугольников, составляющих половину квадрата (то есть из двух соседних четвертинок), можно составить квадрат, если повернуть один из них. Но две четвертинки вместе составляют половину площади квадрата (18 см²). Квадрат площадью 18 см² имеет сторону 18=32. Это ровно длина половины диагонали. Действительно, если взять два треугольника △MOK и △NOK, то их общая сторона OK является половиной диагонали. Если мы приложим их друг к другу по стороне OK так, чтобы прямые углы были рядом, мы получим квадрат со стороной OK? Нет, угол при вершине O в треугольнике MOK равен 45^°. В треугольнике NOK тоже 45^°. Вместе 90^°. Стороны OM и ON равны 32. Стороны MK и NK равны 32. Углы при M и N прямые? Нет, углы при K прямые (90^°). Итак, у нас есть два треугольника с прямым углом при K. Катеты MK=NK=32. Гипотенузы MO=NO=6. Если сложить эти два треугольника по катету MK и NK (которые равны), то получится фигура. Но проще всего понять площадь нового квадрата через сумму площадей треугольников, из которых он состоит. Новый квадрат сложен из двух треугольников. Значит, его площадь равна сумме площадей этих двух треугольников. S_нового =S_△1+S_△2=9+9=18 см² Проверим, действительно ли из двух таких треугольников можно составить квадрат. Треугольники равнобедренные прямоугольные. Два таких треугольника всегда можно составить в квадрат, если приложить их друг к другу по гипотенузе (получится исходный квадрат) или по катету? Если приложить по катету, получится большой равнобедренный треугольник или параллелограмм. Но есть способ: если взять два треугольника и составить из них квадрат, то этот квадрат будет иметь площадь, равную сумме площадей треугольников. Поскольку задача утверждает, что квадрат сложили , значит, такая конфигурация возможна. Площадь любого составного объекта равна сумме площадей его частей.

Ответ:

а) Площадь каждого из четырёх треугольников равна 9 см².

б) Площадь нового квадрата равна 18 см².