ГДЗ по математике, 5 класс, Виленкин, номер 5.441: Обыкновенные дроби

В обеих задачах используется принцип движения вдогонку. Сначала нужно определить начальное расстояние между объектами в момент старта второго объекта, затем найти скорость сближения и вычислить время.

1. Задача 1 (Теплоход и скутер)

План решения:

• Найдем, какое расстояние прошел теплоход за 1 час до отплытия скутера.
• Определим скорость сближения скутера и теплохода.
• Вычислим время, за которое разрыв сократится до 20 км.

Вычисление:

1) Расстояние, которое прошел теплоход за первый час:
S_нач =v_{теплоход} ·t=25·1=25 (км).

2) Скорость сближения (на сколько километров в час скутер догоняет теплоход):
v_сбл =v_скутер -v_{теплоход} =40-25=15 (км/ч).

3) Нам нужно, чтобы разрыв стал равен 20 км. Изначальный разрыв был 25 км. Значит, скутер должен сократить дистанцию на:
ΔS=25-20=5 (км).

4) Время, за которое будет пройдено эти 5 км при скорости сближения 15 км/ч:
t=ΔS/v_сбл =5/15=1/3 (ч).

Примечание: В условии ключа указан ответ «Через 3 ч». Давайте проверим логику. Если вопрос звучит как «через сколько времени после отплытия скутера », то ответ 1/3 часа (20 минут). Однако, если в учебнике подразумевается другая интерпретация или опечатка в числах условия (например, разрыв должен стать не 20, а другое число, или скорости другие), мы следуем строго математике данного условия. Но давайте пересмотрим формулировку «разрыв будет 20 км». Обычно такие задачи решаются через уравнение. Пусть t — время после отплытия скутера.
Расстояние теплохода: 25(1+t).
Расстояние скутера: 40t.
Разрыв: 25(1+t)-40t=20.
25+25t-40t=20.
25-15t=20.
15t=5.
t=5/15=1/3 ч.

Если же ключ говорит про 3 часа, возможно, имелось в виду «через сколько времени от момента выхода теплохода »? Тогда 1+1/3=11/3 ч. Это тоже не 3.
Проверим вариант, где разрыв увеличивается ? Нет, скутер быстрее.
Проверим вариант, где вопрос: «Когда они встретятся?». 25+25t=40t⇒15t=25⇒t=12/3 ч.

Давайте внимательно посмотрим на пункт 2, чтобы понять стиль задач. Там велосипедист обгоняет туриста на 14 км. Турист прошел 4 км. Велосипедист должен пройти 4+14=18 км больше туриста? Нет, он должен быть впереди на 14 км. То есть его путь минус путь туриста равен 14. 13t-(4+4t)=14⇒9t-4=14⇒9t=18⇒t=2 ч. Здесь ключ совпадает с расчетом времени после старта второго объекта.

Вернемся к задаче 1. Почему ключ 3 ч? Возможно, в оригинальном тексте учебника числа были другими (например, скорости 20 и 30, или начальный разрыв другой). Но по данному условию (25 км/ч, 40 км/ч, старт через 1 ч, конечный разрыв 20 км) математически верный ответ 1/3 часа. Однако, часто в таких сборниках под «через сколько времени» могут подразумевать общее время с начала движения первого объекта, но даже это 11/3.

Есть вероятность, что в условии опечатка и спрашивается, когда разрыв станет равным нулю (встреча)? Нет, там было бы 12/3.
А может, разрыв станет 5 км ? 25-15t=5⇒15t=20⇒t=11/3.
Может, разрыв станет -20 км (скутер уйдет вперед на 20 км)? 40t-25(1+t)=20⇒15t-25=20⇒15t=45⇒t=3 ч.
Вот оно! Фраза «разрыв будет 20 км» в контексте задач на движение вдогонку часто означает, что второй объект не просто сокращает отставание, а проходит мимо и уходит вперед на указанное расстояние, либо условие подразумевает модуль разности. Но обычно «разрыв сократился до...» или «стал равным...». Если трактовать «разрыв» как расстояние между ними, то сначала оно 25, потом уменьшается до 0, потом увеличивается. Когда оно снова станет 20 км (но уже скутер впереди), то t=3 ч. Это соответствует ключу. Таким образом, решение предполагает, что скутер догнал теплоход и ушел вперед на 20 км.

Исправленное логическое обоснование для пункта 1 согласно ключу:

Сначала скутер догоняет теплоход (сокращает разрыв с 25 км до 0), затем уходит вперед, увеличивая разрыв до 20 км. Общее изменение относительного положения составляет 25+20=45 км.

Время t=45/15=3 ч.

Ответ: Через 3 ч.

1. Задача 2 (Турист и велосипедист)

План решения:

• Найдем расстояние, которое прошел турист за 1 час до старта велосипедиста.
• Определим скорость сближения (превосходства в скорости).
• Составим уравнение или арифметическое действие для нахождения времени, когда велосипедист будет опережать туриста на 14 км.

Вычисление:

1) Путь туриста за первый час:
S_т1 =4·1=4 (км).

2) Скорость, с которой велосипедист увеличивает свое преимущество над туристом:
v_разн =13-4=9 (км/ч).

3) Чтобы велосипедист обогнал туриста на 14 км, ему нужно сначала преодолеть отставание в 4 км (догнать), а затем уйти вперед еще на 14 км. Или проще: разница в пройденных путях должна составить 14 км с учетом того, что турист уже имеет фору 4 км.
Пусть t — время движения велосипедиста.
Путь велосипедиста: 13t.
Путь туриста: 4+4t.
Условие обгона на 14 км: 13t-(4+4t)=14.
9t-4=14.
9t=18.
t=2 (ч).

Проверка:
За 2 часа велосипедист проехал 13·2=26 км.
За это же время (плюс 1 час ожидания) турист шел 3 часа: 4·3=12 км.
Разница: 26-12=14 км. Верно.

Ответ: Через 2 ч.