ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер 1.32: Вычисления и построения

План решения.

Чтобы найти среднюю скорость на всём пути, нужно разделить общий путь на общее время движения. Сначала вычислим расстояние, которое велосипедист проехал на каждом участке, затем сложим их, чтобы получить общий путь. После этого найдём суммарное время и разделим общий путь на него.

Вычисление.

1) Найдём путь на первом участке. Скорость v₁=6,6 м/с, время t₁=2,6 ч. S₁=v₁·t₁=6,6·2,6=17,16(км) Здесь мы считаем, что если скорость дана в м/с, а время в часах, то для получения расстояния в километрах нужно учитывать перевод единиц или просто умножить числовые значения, понимая масштаб. Однако в школьных задачах такого типа часто подразумевается согласованность единиц или требуется перевод. Давайте проверим размерности. Если скорость в м/с, а время в ч, то произведение даст «метр-часы», что неудобно. Обычно в таких задачах либо скорость в км/ч, либо время в секундах. Но условие говорит: «со скоростью 6,6 м/с». Это очень высокая скорость для велосипеда (около 24 км/ч), но реальная. Время 2,6 часа — тоже много. Переведем всё в километры и часы для удобства, так как ответ обычно ожидается в км/ч или м/с. Переведем скорости в км/ч: v₁=6,6 м/с =6,6·3,6=23,76 км/ч. v₂=5,2 м/с =5,2·3,6=18,72 км/ч. Теперь найдем пути: S₁=23,76·2,6=61,776 км. S₂=18,72·1,4=26,208 км. Общий путь S=S₁+S₂=61,776+26,208=87,984 км. Общее время t=t₁+t₂=2,6+1,4=4 ч. Средняя скорость v_ср =S/t=87,984/4=21,996 км/ч. Если же требовалось оставить в м/с, то можно было бы считать иначе, но результат тот же по сути. Давайте пересчитаем напрямую в метрах и секундах, чтобы избежать ошибок с коэффициентом 3,6, если вдруг в задаче опечатка и имелась в виду скорость в км/ч? Нет, будем строго следовать тексту: м/с и ч. Альтернативный путь (без перевода в км/ч): S₁=6,6 м/с ·2,6 ч. Чтобы умножить, переведем часы в секунды: 2,6 ч =2,6·3600=9360 с. S₁=6,6·9360=61776 м. S₂: 1,4 ч =1,4·3600=5040 с. S₂=5,2·5040=26208 м. S_общ =61776+26208=87984 м. t_общ =2,6+1,4=4 ч =4·3600=14400 с. v_ср =87984/14400=6,11 м/с. Проверим связь между ответами: 21,996 км/ч /3,6=6,11 м/с. Всё сходится. В школьной практике чаще просят ответ в тех же единицах, что и исходные данные, или в более удобных. Так как скорость дана в м/с, логичнее дать ответ в м/с. Но часто в задачах на «среднее арифметическое» путают понятия. Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей! Это отношение общего пути к общему времени. Давайте оформим решение через формулу средней скорости. 2) Вычислим общую длину пути. Так как единицы измерения разные (м/с и ч), сначала приведём их к единой системе. Удобнее всего перевести время в секунды или скорость в км/ч. Попробуем вариант с км/ч, так как числа получаются чуть более «круглыми» для восприятия, хотя здесь они дробные. Или оставим в м/с, но тогда время должно быть в секундах. Решение в м/с: t₁=2,6·3600=9360 с. t₂=1,4·3600=5040 с. S₁=6,6·9360=61776 м. S₂=5,2·5040=26208 м. S_всего =61776+26208=87984 м. t_всего =9360+5040=14400 с. v_ср =87984:14400=6,11 м/с. Решение в км/ч: v₁=6,6·3,6=23,76 км/ч. v₂=5,2·3,6=18,72 км/ч. S₁=23,76·2,6=61,776 км. S₂=18,72·1,4=26,208 км. S_всего =87,984 км. t_всего =4 ч. v_ср =87,984:4=21,996 км/ч. Обычно в учебниках 6 класса избегают сложных переводов единиц внутри одной задачи, если не пройдена тема перевода. Возможно, в условии опечатка и скорость дана в км/ч? Если v₁=6,6 км/ч и v₂=5,2 км/ч, то: S₁=6,6·2,6=17,16 км. S₂=5,2·1,4=7,28 км. S=24,44 км. t=4 ч. v_ср =6,11 км/ч. Заметьте, цифра та же самая (6,11), только единицы другие. Это свойство линейности. Если мы просто умножим числа из условия без перевода единиц, мы получим «смешанную» величину, которая численно равна средней скорости в м/с, если время было бы в секундах, или в км/ч, если скорость была в км/ч. Но так как время в часах, а скорость в м/с, прямое умножение 6,6·2,6 дает не километры, а «метр-часы». Чтобы получить метры, надо умножить на 3600. Чтобы получить километры, надо умножить на 3,6. Однако, есть хитрый способ. Средняя скорость v_cp=v₁t₁+v₂t₂/t₁+t₂. Эта формула верна, если v и t в согласованных единицах. Если мы подставим v в м/с, а t в ч, то числитель будет в «м*ч», знаменатель в «ч». Результат будет в м/с? Нет, потому что v₁t₁ — это путь, только если t в секундах. Если t в часах, то путь S=v·t·3600. Тогда: v_cp=v₁t₁·3600+v₂t₂·3600/(t₁+t₂)·3600=3600(v₁t₁+v₂t₂)/3600(t₁+t₂)=v₁t₁+v₂t₂/t₁+t₂. Коэффициент 3600 сокращается! Это значит, что для нахождения средней скорости в м/с , можно использовать формулу взвешенного среднего, подставляя скорость в м/с и время в часах (или любые другие единицы времени, лишь бы они были одинаковыми для обоих участков). Ответ получится в м/с. Проверим: v_cp=6,6·2,6+5,2·1,4/2,6+1,4 Числитель: 6,6·2,6=17,16; 5,2·1,4=7,28. Сумма: 17,16+7,28=24,44. Знаменатель: 2,6+1,4=4. Результат: 24,44:4=6,11. Единица измерения: м/с. Это самый простой и корректный путь для ученика 6 класса, не загромождая вычисления переводами секунд в часы, так как множитель перевода сокращается.

Ответ: 6,11 м/с.