ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер p118.11: Применяем математику

План решения.

В задаче Эйлера ключевым условием является то, что все сыновья получают равные доли наследства. Обозначим общую сумму наследства через S, а количество сыновей — через n. Доля каждого сына равна x=S/n. Мы можем составить уравнения для первого и второго сыновей, выразив их получение через S и приравняв эти выражения друг к другу, так как доли равны.

Вычисление.

Рассмотрим получение первого (старшего) сына. Он получает фиксированную сумму 1000 рублей и 1/8 от остатка. Остаток после выдачи 1000 рублей равен S-1000. Таким образом, доля первого сына:

Теперь рассмотрим получение второго сына. Сначала нужно определить остаток денег в кассе перед его подходом. Этот остаток равен общей сумме минус то, что уже получил первый сын: S-x₁. Второй сын получает фиксированные 2000 рублей и 1/8 от нового остатка. Но удобнее считать иначе: пусть после того, как первый сын забрал свои деньги, осталось R₁. Тогда второй сын забирает 2000+1/8R₁. Однако, чтобы избежать сложных рекурсий, воспользуемся свойством равенства долей. Если доли равны, то разность между фиксированными частями должна компенсироваться разностью дробных частей.

Давайте найдем S из условия равенства долей первого и второго сыновей. Пусть доля каждого равна x. Для первого сына: x=1000+1/8(S-1000). Отсюда выразим остаток после первого сына: S-x=S-(1000+1/8(S-1000))=7/8(S-1000). Этот остаток (S-x) является базой для расчета доли второго сына? Нет, база для второго сына — это остаток после того, как он возьмет свои 2000? Нет, по условию: «следующий — 2000 рублей и 1/8 нового остатка». Новый остаток — это то, что осталось после того, как первый сын ушел, но до того, как второй взял свои 2000? Или после? Формулировка «остатка» обычно подразумевает остаток после выдачи фиксированной части текущему наследнику или предыдущему? Стандартная интерпретация задачи Эйлера: каждый следующий сын получает свою фиксированную часть плюс 1/8 от того, что осталось после выдачи этой фиксированной части ему самому? Нет, чаще всего подразумевается остаток после предыдущих выплат. Давайте проверим классическую логику. Пусть S — общая сумма. Доля 1-го: d₁=1000+1/8(S-1000). Остаток после 1-го: S₁=S-d₁. Доля 2-го: d₂=2000+1/8(S₁-2000). Так как d₁=d₂=x, то: x=1000+1/8(S-1000) x=2000+1/8(S-x-2000) Подставим S из первого уравнения во второе или выразим S. Из первого: 8(x-1000)=S-1000⇒S=8x-8000+1000=8x-7000. Подставим S во второе уравнение: x=2000+1/8((8x-7000)-x-2000) x=2000+1/8(7x-9000) Умножим на 8: 8x=16000+7x-9000 8x-7x=7000 x=7000 Таким образом, каждый сын получает 7000 рублей. Найдем общую сумму S: S=8(7000)-7000=56000-7000=49000 рублей. Количество сыновей n: n=S/x=49000/7000=7.

Проверка.

Проверим распределение для 7 сыновей и суммы 49000 руб. 1-й сын: получает 1000 + 1/8 от (49000 - 1000) = 1000 + 1/8 * 48000 = 1000 + 6000 = 7000. Остаток: 42000. 2-й сын: получает 2000 + 1/8 от (42000 - 2000) = 2000 + 1/8 * 40000 = 2000 + 5000 = 7000. Остаток: 35000. 3-й сын: получает 3000 + 1/8 от (35000 - 3000) = 3000 + 1/8 * 32000 = 3000 + 4000 = 7000. Остаток: 28000. 4-й сын: получает 4000 + 1/8 от (28000 - 4000) = 4000 + 1/8 * 24000 = 4000 + 3000 = 7000. Остаток: 21000. 5-й сын: получает 5000 + 1/8 от (21000 - 5000) = 5000 + 1/8 * 16000 = 5000 + 2000 = 7000. Остаток: 14000. 6-й сын: получает 6000 + 1/8 от (14000 - 6000) = 6000 + 1/8 * 8000 = 6000 + 1000 = 7000. Остаток: 7000. 7-й сын: получает 7000 + 1/8 от (7000 - 7000) = 7000 + 0 = 7000. Остаток: 0. Все получили поровну, сумма совпадает.