ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин, номер p118.9: Применяем математику

План решения:

• Вычислим общую массу всех наборов для 17 детей.
• Определим количество полных и неполных единиц веса (по 20 г) в общей массе.
• Рассчитаем стоимость отправки по тарифу «простая бандероль», так как она дешевле заказной, а условие не требует обязательного использования заказной формы.

Вычисление:

1. Найдем массу одного набора. Масса карандашей 1/40 кг, масса красок 2/5 кг. Масса одного набора =1/40+2/5=1/40+16/40=17/40 кг Переведем в граммы: 17/40·1000=425 г.
2. Найдем общую массу для 17 детей: M_общ =425·17=7225 г Проверим диапазон: 7225 г =7,225 кг. Условие говорит о бандеролях весом от 100 г до 2 кг . Здесь возникает противоречие: мы отправляем один большой груз или много маленьких? Фраза «отправить бандероли... для 17 детей» обычно подразумевает отправку каждому ребенку отдельной бандеролью , либо объединение в одну, если вес позволяет. Но максимальный вес одной бандероли — 2 кг. Общая масса 7,2 кг превышает лимит одной бандероли. Значит, нужно отправить несколько бандеролей. Чтобы минимизировать стоимость, выгодно группировать товары так, чтобы каждая бандероль была максимально заполнена (до 2 кг), но не превышала этот предел, либо отправлять каждому отдельно. Давайте сравним варианты. Вариант А: Отправка каждому ребенку отдельной бандеролью. Вес одной бандероли: 425 г. Тариф за первые 100 г: 48 р. Остаток веса: 425-100=325 г. Количество шагов по 20 г: 325/20=16,25. Округляем вверх до целого числа шагов (так как «неполные 20 г» считаются как полный шаг): 17 шагов. Доплата: 17·3,6=61,2 р. Стоимость одной бандероли: 48+61,2=109,2 р. Общая стоимость для 17 детей: 109,2·17=1856,4 р. Вариант Б: Объединение в крупные бандероли (до 2 кг). Максимальный вес одной бандероли 2000 г. Сколько наборов помещается в одну бандероль? 2000/425≈4,7. То есть максимум 4 набора в одной бандероль. Вес 4 наборов: 4·425=1700 г. Нужно раздать 17 наборов. 17=4·4+1. То есть 4 бандероли по 4 набора и 1 бандероль с 1 набором. Итого 5 бандеролей. Рассчитаем стоимость одной большой бандероли (1700 г): Первые 100 г: 48 р. Остаток: 1700-100=1600 г. Шаги по 20 г: 1600/20=80 шагов. Доплата: 80·3,6=288 р. Стоимость одной такой бандероли: 48+288=336 р. Стоимость 4 таких бандеролей: 336·4=1344 р. Рассчитаем стоимость маленькой бандероли (1 набор, 425 г): Как в Варианте А: 109,2 р. Общая стоимость при группировке: 1344+109,2=1453,2 р. Сравним: 1453,2<1856,4. Группировка выгоднее. Можно ли сделать еще лучше? Попробуем распределить наборы более равномерно, чтобы использовать «шаг» доплаты эффективнее. Доплата идет за каждые 20 г сверх 100 г. Это линейная зависимость после первых 100 г. Стоимость растет пропорционально весу плюс фиксированная часть за первую сотню. Чем меньше бандеролей, тем меньше раз мы платим базовые 48 рублей. Минимальное количество бандеролей определяется общим весом и лимитом 2 кг. Общий вес 7225 г. Лимит 2000 г. ⌈7225/2000⌉=⌈3,6125⌉=4 бандероли. Значит, теоретически можно уложиться в 4 бандероли, если средний вес будет 7225/4=1806,25 г. Это меньше 2000 г. Значит, 4 бандероли возможны. Распределим 17 наборов на 4 бандероли. Варианты разбиения чисел (наборов в бандероли): - 5, 4, 4, 4 (всего 17). Вес: 5·425=2125 г > 2000 г. Не подходит. - 4, 4, 4, 5 — тоже не подходит. - Максимум 4 набора в бандероль (4·425=1700 г). Если максимум 4 набора, то для 17 наборов нужно минимум ⌈17/4⌉=5 бандеролей. Значит, вариант с 5 бандеролями (4 по 4 набора, 1 по 1 набору) является оптимальным по количеству бандеролей среди возможных физических ограничений. Давайте проверим, нет ли способа разбить на 5 бандеролей иначе, чтобы было дешевле? Стоимость зависит только от веса каждой бандероли. Функция стоимости C(w) выпуклая? Нет, она кусочно-линейная с изломом в начале. Но главное — фиксированный сбор 48 руб. за каждую бандероль. Поэтому чем меньше бандеролей, тем лучше. Мы установили, что минимум 5 бандеролей. Внутри 5 бандеролей сумма доплат за вес одинакова, так как общий вес фиксирован, а ставка за грамм постоянна (3,6 руб за 20 г = 0,18 руб/г). Разница будет только в том, сколько раз мы платим базовые 48 рублей. В любом случае 5 бандеролей дают 5·48=240 руб базовой части. Доплата за вес рассчитывается суммарно по всем бандеролям. Для варианта 4+4+4+4+1: Базовая часть: 5·48=240 р. Вес сверх 100 г в каждой: 1. 1700 г: остаток 1600 г. Шагов: 80. 2. 1700 г: остаток 1600 г. Шагов: 80. 3. 1700 г: остаток 1600 г. Шагов: 80. 4. 1700 г: остаток 1600 г. Шагов: 80. 5. 425 г: остаток 325 г. Шагов: ⌈325/20⌉=17. Всего шагов: 80·4+17=320+17=337. Стоимость доплат: 337·3,6=1213,2 р. Итого: 240+1213,2=1453,2 р. Есть ли другой способ разбить 17 наборов на 5 бандеролей? Например, 3, 3, 3, 4, 4? (Всего 17). Вес: 3 набора: 3·425=1275 г. Остаток 1175 г. Шагов: ⌈1175/20⌉=59. 4 набора: 4·425=1700 г. Остаток 1600 г. Шагов: 80. Базовая часть та же: 5·48=240 р. Шаги: 59·3+80·2=177+160=337. Результат тот же! Почему? Потому что округление вверх до целого количества шагов по 20 г может создавать небольшие различия, но здесь они совпали. Попробуем 2, 3, 4, 4, 4? (Всего 17). 2 набора: 850 г. Остаток 750 г. Шагов: ⌈750/20⌉=38. 3 набора: 1275 г. Шагов: 59. 4 набора: 1700 г. Шагов: 80. Шаги: 38+59+80·3=97+240=337. Снова 337. Похоже, что при таком весе наборов (425 г) и шаге 20 г, остаток от деления веса на 20 влияет мало или компенсируется. Проверим крайний случай: 1, 1, 1, 1, 13? Нет, 13 наборов это 5525 г, больше 2 кг. Максимум 4 набора. Разбиение 17 на 5 частей, где каждая ≤4: только перестановки наборов {4,4,4,4,1}, {4,4,4,3,2}, {4,4,3,3,3}. Мы посчитали {4,4,4,4,1} -> 337 шагов. {4,4,4,3,2}: 80+80+80+59+38=337. {4,4,3,3,3}: 80+80+59+59+59=337. Все варианты дают одинаковую сумму шагов. Значит, минимальная стоимость одна и та же. Ответ: 1453,2 рубля.

Проверка:

Логика проверки основана на минимизации количества бандеролей (фиксированных затрат) и корректном расчете переменных затрат. Так как все возможные комбинации из 5 бандеролей дали одинаковый результат, а использование 6 и более бандеролей добавило бы лишние 48 рублей базовой ставки, решение верно.