ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 109: *. Эйлерова характеристика
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Роман Жуков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Существует ли полный граф, у которого
а) 66 рёбер
б) 90 рёбер?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи вспомним формулу для количества рёбер в полном графе Kn. Полный граф с n вершинами содержит столько рёбер, сколько существует способов выбрать пару различных вершин из n возможных. Это число сочетаний по два:
m=n(n-1)/2где m — количество рёбер, а n — количество вершин (n — натуральное число, n≥1). Нам нужно проверить, существуют ли такие целые положительные числа n, при которых правая часть уравнения равна заданному числу рёбер.
Шаг 1. Пункт а) Существует ли полный граф с 66 рёбрами?
Составим уравнение для пункта а):
n(n-1)/2=66Умножим обе части на 2:
n(n-1)=132Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
n2-n-132=0Решим это уравнение через дискриминант или подбором множителей. Ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132. Так как 10·11=110, а 11·12=132, то подходящими корнями являются n=12 и n=-11 (корень n=-11 не подходит, так как число вершин должно быть положительным).
Проверка:
12(12-1)/2=12·11/2=132/2=66Так как мы нашли целое положительное число вершин n=12, то такой граф существует. Это полный граф K12.
Шаг 2. Пункт б) Существует ли полный граф с 90 рёбрами?
Составим аналогичное уравнение для пункта б):
n(n-1)/2=90Умножим обе части на 2:
n(n-1)=180Получаем квадратное уравнение:
n2-n-180=0Найдём дискриминант:
D=(-1)2-4·1·(-180)=1+720=721Чтобы корни были целыми числами, дискриминант должен быть полным квадратом натурального числа. Проверим, является ли 721 квадратом какого-либо числа. Ближайшие квадраты: 262=676 и 272=729. Число 721 находится между ними и не является полным квадратом.
Следовательно, уравнение не имеет целых корней. Значит, не существует такого натурального числа n, при котором количество рёбер полного графа было бы ровно 90.
Ответ: нет, такого полного графа не существует.
а) Да, K12
б) Нет
Использована стандартная формула числа рёбер полного графа Kn. Для пункта а) решено квадратное уравнение, найден целый корень n=12. Для пункта б) проверено, что дискриминант не является полным квадратом, следовательно, целочисленного решения нет.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 109 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 109?
Краткий ответ: а) Да, K_12 б) Нет.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. *. Эйлерова характеристика.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.