10–11 классы *. Эйлерова характеристика § 13. *. Эйлерова характеристика

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 111: *. Эйлерова характеристика

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Дмитрий Орлов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 110 113 →

Условие

Имеется набор из 28 костей домино. Вершины — это кости, рёбра соединяют пары, которые можно приложить друг к другу по правилам домино. Можно ли нарисовать все линии так, чтобы они не пересекались (является ли этот граф планарным)?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи о планарности графа домино мы воспользуемся критерием Понтрягина–Куратовского. Согласно этому критерию, граф является планарным (то есть его можно нарисовать на плоскости без пересечений рёбер) тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов, гомеоморфных полному графу K₅ или полному двудольному графу K_3,3.

Шаг 1. Анализ структуры набора костей домино

Стандартный набор домино состоит из 28 костей. Каждая кость представляет собой пару чисел от 0 до 6. Две кости можно приложить друг к другу, если у них есть общее число. В терминах теории графов: вершины — это кости, а ребро существует между двумя вершинами, если соответствующие кости имеют хотя бы одно общее значение.

Рассмотрим множество костей, содержащих определённое число, например, 0. Кости с нулём: (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6). Их всего 7. Любые две из этих костей имеют общее число 0, следовательно, они все попарно соединены рёбрами. Это образует полный подграф K₇ на этих вершинах? Нет, не совсем. Ребро в нашем графе означает возможность стыковки. Если взять любые две кости из этого списка, скажем (0,1) и (0,2), они стыкуются через 0. Значит, да, среди всех костей, содержащих цифру k, любые две являются соседями в графе совместимости. Таким образом, для каждой цифры k∈{0,…,6} кости, содержащие k, образуют клику (полный подграф).

Шаг 2. Выделение подграфа K₅

Нам нужно проверить наличие подграфа, гомеоморфного K₅. Самый простой способ показать непланарность — найти внутри графа сам K₅ как подграф (или топологический минор). Рассмотрим пять специфических костей:

A=(0,1)
B=(0,2)
C=(0,3)
D=(0,4)
E=(0,5)

Проверим связи между ними:

A и B: общая цифра 0 → есть ребро.
A и C: общая цифра 0 → есть ребро.
A и D: общая цифра 0 → есть ребро.
A и E: общая цифра 0 → есть ребро.
B и C: общая цифра 0 → есть ребро.
B и D: общая цифра 0 → есть ребро.
B и E: общая цифра 0 → есть ребро.
C и D: общая цифра 0 → есть ребро.
C и E: общая цифра 0 → есть ребро.
D и E: общая цифра 0 → есть ребро.

Таким образом, эти пять вершин попарно соединены рёбрами. Они образуют полный граф K₅.

Шаг 3. Применение критерия планарности

Полный граф K₅ является непланарным. Это классический результат теории графов: невозможно разместить 5 вершин так, чтобы каждая была соединена с каждой другими тремя способами без пересечения линий на плоскости (можно проверить по формуле Эйлера для планарных графов: для K₅ количество рёбер m=10, вершин n=5. Для планарного графа должно выполняться неравенство m≤3n-6. Подставим значения: 10≤3(5)-6⇒10≤9, что неверно).

Поскольку исходный граф домино содержит подграф K₅, то весь граф также не может быть планарным. Если бы мы могли нарисовать весь граф без пересечений, то и его часть (K₅) тоже можно было бы нарисовать без пересечений, что невозможно.

Вывод

Граф совместимости костей домино не является планарным, так как он содержит полный подграф K₅.

Ответ

Нет, граф не является планарным.

Обоснование: Граф содержит подграф K₅ (например, кости (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5)), который заведомо непланарен.

Задача требует знания критерия Куратовского или свойств полного графа K5. Важно показать конкретный пример пяти костей, которые попарно стыкуются. Все выбранные кости содержат одну и ту же цифру (в примере 0), поэтому любая пара имеет общий конец.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 111 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 111?

Краткий ответ: Нет, граф не является планарным. Обоснование: Граф содержит подграф K_5 (например, кости (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5)), который заведомо непланарен.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. *. Эйлерова характеристика.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.