ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 121: *. Эйлерова характеристика
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Алексей Широков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Гена и пять его одноклассников играли в снежки. Каждый из пяти одноклассников утверждает, что попал снежком в своих одноклассников больше раз, чем попали в него. Гена утверждает, что в него попали только четыре раза. Докажите, что хотя бы один из шестерых ошибается.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи удобно использовать язык теории графов. Представим участников игры как вершины графа, а удачные попадания снежком — как направленные рёбра (дуги). Если игрок A попал в игрока B, то мы рисуем стрелку от A к B. Всего в игре участвует 6 человек: Гена и пять его одноклассников.
Шаг 1. Введение обозначений для степеней вершин
Обозначим через dout(v) количество попаданий, сделанных игроком v (исходящая степень), а через din(v) — количество попаданий, полученных игроком v (входящая степень).
В условии сказано, что каждый из пяти одноклассников утверждает, что попал больше раз, чем в него попали. Это можно записать неравенством для каждого из этих пяти игроков:
dout(v)>din(v)Также известно утверждение Гены: в него попали ровно четыре раза. То есть для Гены (G):
din(G)=4Шаг 2. Суммирование по всем участникам
Рассмотрим сумму всех исходящих степеней и сумму всех входящих степеней по всем шести участникам игры. Обозначим множество всех игроков как V, где |V|=6. Пусть O — множество пяти одноклассников, а G — Гена.
Согласно лемме о рукопожатиях для ориентированных графов, сумма входящих степеней всех вершин равна количеству рёбер, и сумма исходящих степеней всех вершин также равна количеству рёбер. Следовательно:
∑v∈Vdout(v)=∑v∈Vdin(v)Разобьём эти суммы на части для одноклассников и для Гены:
∑v∈Odout(v)+dout(G)=∑v∈Odin(v)+din(G)Шаг 3. Анализ противоречия
Из условия следует, что для каждого v∈O выполняется dout(v)>din(v). Поскольку таких игроков пятеро, то суммарное количество попаданий, сделанных одноклассниками, строго больше суммарного количества попаданий, полученных ими:
∑v∈Odout(v)>∑v∈Odin(v)Подставим это неравенство в равенство из Шага 2. Перенесём слагаемые с одноклассниками в одну сторону:
dout(G)-din(G)=∑v∈Odin(v)-∑v∈Odout(v)Поскольку ∑v∈Odin(v)<∑v∈Odout(v), то правая часть этого равенства является отрицательным числом. Значит, левая часть тоже должна быть отрицательной:
dout(G)-din(G)<0impliesdout(G)<din(G)Мы знаем, что din(G)=4. Следовательно, чтобы неравенство выполнялось, должно быть верно:
dout(G)<4Однако давайте проверим, возможно ли такое положение дел при условии, что все остальные утверждения верны. Если предположить, что все шестеро говорят правду, то у нас есть система ограничений. Но главное противоречие возникает не только из-за Гены, а из структуры графа в целом.
Давайте посмотрим внимательнее. Мы вывели, что если все 5 одноклассников правы, то dout(G)<din(G)=4. Это допустимо само по себе. Но есть ли другие ограничения?
Рассмотрим сумму разностей (dout(v)-din(v)) по всем вершинам. Она всегда равна нулю.
∑v∈V(dout(v)-din(v))=0 ∑v∈O(dout(v)-din(v))+(dout(G)-din(G))=0Пусть kv=dout(v)-din(v). Для одноклассников kv≥1 (так как степени целые и неравенство строгое). Тогда ∑v∈Okv/5≥1, значит сумма по одноклассникам ≥5. Тогда для Гены должно выполняться: kG=-(∑v∈Okv)≤-5 То есть dout(G)-din(G)≤-5. Подставляем известное значение din(G)=4: dout(G)-4≤-5impliesdout(G)≤-1 Количество бросков (степень) не может быть отрицательным. Получаем противоречие.
Шаг 4. Вывод
Предположение о том, что все шесть участников говорят правду, привело к невозможному результату: исходящая степень Гены должна быть меньше нуля. Следовательно, хотя бы одно из утверждений ложно.
Таким образом, доказано, что хотя бы один из шестерых ошибается.
Доказано методом от противного: сумма разностей исходящих и входящих степеней равна 0. У пяти одноклассников эта разность положительна (минимум 1), их сумма минимум 5. Значит, у Гены разность должна быть максимум -5. При входящей степени 4 это требует исходящей степени -1, что невозможно.
Задача решается через свойства ориентированного графа. Ключевой момент — лемма о том, что сумма исходящих степеней равна сумме входящих степеней (или сумма разностей равна нулю). Строгое неравенство для целых чисел позволяет оценить минимальную сумму отклонений для группы из 5 человек.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 121 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 121?
Краткий ответ: Доказано методом от противного: сумма разностей исходящих и входящих степеней равна 0. У пяти одноклассников эта разность положительна (минимум 1), их сумма минимум 5. Значит, у Гены разность должна быть максимум -5. При входящей степени 4 это требует исходящей степени -1, что невозможно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. *. Эйлерова характеристика.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.