ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 107: *. Эйлерова характеристика
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Илья Морозов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Проверить существование многогранника
а) с двумя четырёхугольными и восемью треугольными гранями
б) с тремя четырёхугольными и семью треугольными гранями. Если он существует, найти число его рёбер, если нет — объяснить причину.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для проверки существования выпуклого многогранника и нахождения количества его рёбер будем использовать два фундаментальных факта комбинаторной геометрии:
- Формула Эйлера : для любого выпуклого многогранника справедливо равенство V-E+F=2, где V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней.
- Связь между рёбрами и сторонами граней : каждое ребро принадлежит ровно двум граням. Если мы просуммируем количество сторон всех граней, то получим удвоенное число рёбер. То есть Сумма сторон =2E.
Шаг 1. Анализ пункта а)
У нас есть две четырёхугольные грани и восемь треугольных граней.
Найдём общее число граней F:
F=2+8=10Вычислим сумму количеств сторон всех граней. Четырёхугольник имеет 4 стороны, треугольник — 3 стороны:
Sсторон =2×4+8×3=8+24=32Так как каждая сторона грани является частью ребра, а каждое ребро разделяет две грани, то сумма сторон равна 2E. Найдём число рёбер E:
2E=32 ightarrowE=16Теперь проверим существование такого многогранника с помощью формулы Эйлера. Подставим известные значения F=10 и E=16:
V-16+10=2 ightarrowV-6=2 ightarrowV=8Мы получили целое положительное число вершин (V=8). Также нужно убедиться, что такая конфигурация геометрически возможна (например, не противоречит неравенству 3V≤2E, так как в каждой вершине сходится минимум 3 ребра).
Проверка: 3×8=24, а 2×16=32. Так как 24≤32, условие выполняется. Такой многогранник существует (это может быть, например, усечённый куб или другая комбинация, но главное — топологически он допустим).
Шаг 2. Анализ пункта б)
У нас есть три четырёхугольные грани и семь треугольных граней.
Найдём общее число граней F:
F=3+7=10Вычислим сумму количеств сторон всех граней:
Sсторон =3×4+7×3=12+21=33Используем связь суммы сторон с числом рёбер E:
2E=33Отсюда следует, что E=16,5.
Число рёбер многогранника должно быть целым неотрицательным числом, так как рёбра — это физические отрезки. Дробное значение невозможно. Это означает, что нечётная сумма сторон граней делает невозможным построение замкнутого многогранника с такими характеристиками.
Причина несуществования: сумма степеней граней (количество сторон) должна быть чётной, так как она равна удвоенному числу рёбер. В данном случае сумма равна 33 (нечётное число), поэтому многогранник не существует.
а) Да, существует; число рёбер E=16
б) Нет, не существует, так как сумма сторон граней нечётна (33), что противоречит условию 2E=сумма
В пункте а) важно показать вычисление через формулу Эйлера для получения числа вершин, хотя ключ требует только число рёбер. В пункте б) акцент на парности суммы сторон.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 107 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 107?
Краткий ответ: а) Да, существует; число рёбер E=16 б) Нет, не существует, так как сумма сторон граней нечётна (33), что противоречит условию 2E = сумма.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 13. *. Эйлерова характеристика.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.