10–11 классы Элементарные события и их вероятности § 15. Элементарные события и их вероятности

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 164: Элементарные события и их вероятности

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Вера Лапина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 163 165 →

Условие

Вывести формулу сложения вероятностей для трёх событий: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для вывода формулы вероятности объединения трёх событий A, B и C воспользуемся уже известной нам формулой сложения для двух событий. План решения: сначала представим объединение трёх множеств как объединение двух (одного исходного и одного составного), затем применим формулу дважды и раскроем скобки.

Шаг 1. Применение формулы для двух событий

Рассмотрим событие A∪B∪C. Мы можем сгруппировать его как объединение события A и события (B∪C). Обозначим D=B∪C. Тогда:

P(A∪D)=P(A)+P(D)-P(A∩D)

Подставим обратно выражение для D:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B∪C)-P(A∩(B∪C))

Шаг 2. Раскрытие вероятности P(B∪C)

К событию B∪C применим стандартную формулу сложения для двух событий:

P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)

Теперь подставим это выражение в уравнение из первого шага:

P(A∪B∪C)=P(A)+[P(B)+P(C)-P(B∩C)]-P(A∩(B∪C))

Шаг 3. Раскрытие пересечения A∩(B∪C)

Используем дистрибутивный закон теории множеств: пересечение множества с объединением равно объединению пересечений:

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

Обозначим E=A∩B и F=A∩C. Нам нужно найти вероятность их объединения P(E∪F). Снова применим формулу сложения для двух событий:

P((A∩B)∪(A∩C))=P(A∩B)+P(A∩C)-P((A∩B)∩(A∩C))

Упростим последнее пересечение. По определению пересечения множеств:

(A∩B)∩(A∩C)=A∩B∩C

Таким образом:

P(A∩(B∪C))=P(A∩B)+P(A∩C)-P(A∩B∩C)

Шаг 4. Итоговая подстановка и упрощение

Подставим результат третьего шага в уравнение второго шага. Не забываем про знак минус перед этим выражением:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(B∩C)-[P(A∩B)+P(A∩C)-P(A∩B∩C)]

Раскрываем скобки, меняя знаки внутри на противоположные:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(B∩C)-P(A∩B)-P(A∩C)+P(A∩B∩C)

Перегруппируем слагаемые в привычном порядке:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

Проверка логики: Формула имеет смысл. Сначала мы складываем вероятности всех одиночных событий, но при этом области попарных пересечений (A∩B, A∩C, B∩C) засчитываются дважды. Поэтому мы вычитаем вероятности попарных пересечений. Однако центральная область, где пересекаются все три события (A∩B∩C), входила в каждое из попарных пересечений. При первом сложении она учитывалась 3 раза, при вычитании попарных пересечений — 3 раза вычиталась. В итоге её вклад стал равен нулю. Чтобы вернуть эту область в итоговую сумму (так как она входит в объединение), необходимо прибавить P(A∩B∩C) один раз. Это подтверждает правильность знака «плюс» перед тройным пересечением.

Ответ

Формула выведена последовательным применением правила сложения для двух событий и закона дистрибутивности.

Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 164 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 164?

Краткий ответ: Формула выведена последовательным применением правила сложения для двух событий и закона дистрибутивности.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 15. Элементарные события и их вероятности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.