ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 18
Тема: Сравнение описательных свойств среднего арифметического и медианы
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Мария Волкова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что при сдвиге всех чисел массива данных на одно и то же число влево или вправо медиана и среднее арифметическое также сдвигаются на это же число.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче требуется доказать свойство инвариантности (точнее, ковариантности) мер центральной тенденции относительно линейного сдвига данных. Мы рассмотрим два случая: когда количество элементов в выборке нечётное и когда оно чётное. В обоих случаях мы покажем, что если к каждому элементу массива прибавить константу c, то медиана и среднее арифметическое также увеличатся на c.
Шаг 1. Обозначения и постановка задачи
Пусть у нас есть упорядоченный по возрастанию массив данных x1≤x2≤…≤xn. Обозначим через x среднее арифметическое этого массива, а через Me(x) — его медиану. Рассмотрим новый массив данных yi, полученный из исходного путём сдвига каждого элемента на одно и то же число c: yi=xi+c, i=1,2,…,n Так как c — константа, порядок элементов сохраняется: y1≤y2≤…≤yn. Нам нужно доказать, что y=x+c и Me(y)=Me(x)+c.
Шаг 2. Доказательство для среднего арифметического
Среднее арифметическое нового массива y вычисляется по формуле: y=1/n∑ni=1yi Подставим выражение yi=xi+c: y=1/n∑ni=1(xi+c) Используем свойство линейности суммы: y=1/n(∑ni=1xi+∑ni=1c) Вторая сумма содержит n одинаковых слагаемых c, поэтому ∑ni=1c=n·c. Тогда: y=1/n(∑ni=1xi+n·c)=1/n∑ni=1xi+n·c/n Первое слагаемое — это исходное среднее арифметическое x, второе — просто c. Следовательно: y=x+c Это доказывает, что среднее арифметическое сдвигается на ту же величину c.
Шаг 3. Доказательство для медианы при нечётном числе элементов
Пусть n — нечётное число. Медиана исходного массива x равна центральному элементу: Me(x)=xn+1/2 Медиана нового массива y равна соответствующему центральному элементу: Me(y)=yn+1/2 По определению сдвига yk=xk+c для любого индекса k. Подставим индекс центра: Me(y)=xn+1/2+c Так как xn+1/2=Me(x), получаем: Me(y)=Me(x)+c Утверждение верно для нечётного n.
Шаг 4. Доказательство для медианы при чётном числе элементов
Пусть n — чётное число. Медиана исходного массива определяется как среднее арифметическое двух центральных элементов: Me(x)=xn/2+xn/2+1/2 Аналогично для нового массива y: Me(y)=yn/2+yn/2+1/2 Заменим элементы y на x+c: Me(y)=(xn/2+c)+(xn/2+1+c)/2 Сгруппируем слагаемые: Me(y)=xn/2+xn/2+1+2c/2=xn/2+xn/2+1/2+2c/2 Первая часть дроби — это Me(x), вторая — c. Итого: Me(y)=Me(x)+c Утверждение верно и для чётного n.
Шаг 5. Проверка на примере
Для наглядности проверим утверждение на простом числовом примере. Исходный массив: x={2,4,6}. Здесь n=3 (нечётное). Сдвинем все числа вправо на c=5. Новый массив: y={7,9,11}. 1. Среднее арифметическое: x=2+4+6/3=4. y=7+9+11/3=9. Разница: 9-4=5=c. Верно. 2. Медиана: Me(x)=4 (центральный элемент). Me(y)=9 (центральный элемент). Разница: 9-4=5=c. Верно. Если бы массив был чётным, например x={2,4}, то Me(x)=3. После сдвига на 5: y={7,9}, Me(y)=8. Разница 8-3=5. Также верно.
Доказано: при сдвиге всех чисел массива на константу c среднее арифметическое и медиана также увеличиваются на c.
Задача требует формального доказательства свойств статистических характеристик. Решение разбито на логические блоки: определение сдвига, алгебраический вывод для среднего, разбор случаев четности для медианы и контрольный пример. Использованы стандартные обозначения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 18 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 18?
Краткий ответ: Доказано: при сдвиге всех чисел массива на константу c среднее арифметическое и медиана также увеличиваются на c.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сравнение описательных свойств среднего арифметического и медианы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.