ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 19
Тема: Сравнение описательных свойств среднего арифметического и медианы
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Алексей Широков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Доказать, что при умножении каждого значения массива на одно и то же число среднее и медиана массива умножаются на это же число.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче требуется доказать общее свойство описательных статистик: линейность среднего арифметического и медианы относительно умножения на константу. Мы будем использовать формальное определение этих величин для произвольного конечного множества чисел.
Шаг 1. Обозначения и исходные данные
Пусть дан массив (выборка) из n значений: x1,x2,…,xn.
Обозначим среднее арифметическое этого массива как x, а его медиану как Me(x).
По условию задачи каждый элемент массива умножается на одно и то же число k. Получаем новый массив: y1,y2,…,yn, где yi=k·xi для всех i=1,…,n.
Нам нужно доказать два утверждения:
- y=k·x;
- Me(y)=k·Me(x).
Шаг 2. Доказательство для среднего арифметического
Среднее арифметическое нового массива y вычисляется по формуле:
y=y1+y2+…+yn/nПодставим выражение yi=k·xi в числитель:
y=k·x1+k·x2+…+k·xn/nВынесем общий множитель k за скобки в числителе:
y=k·(x1+x2+…+xn)/nИспользуя свойства дробей, перенесем k перед дробью:
y=k·x1+x2+…+xn/nЗаметим, что выражение в дроби — это в точности определение среднего арифметического исходного массива x:
y=k·xТаким образом, первое утверждение доказано.
Шаг 3. Доказательство для медианы
Медиана зависит от порядка элементов. Чтобы найти медиану исходного массива x, необходимо упорядочить его элементы по возрастанию. Пусть x(1)≤x(2)≤…≤x(n) — вариационный ряд исходного массива.
Рассмотрим два случая для числа k.
Случай А: k>0
Если мы умножим неравенства x(1)≤x(2)≤…≤x(n) на положительное число k, знаки неравенств сохранятся:
k·x(1)≤k·x(2)≤…≤k·x(n)Это означает, что упорядоченный ряд нового массива y получается просто умножением каждого элемента упорядоченного ряда x на k. То есть y(i)=k·x(i).
Медиана определяется как средний элемент (или среднее двух средних) упорядоченного ряда.
- Если n нечетно (n=2m+1), то Me(x)=x(m+1). Тогда Me(y)=y(m+1)=k·x(m+1)=k·Me(x).
- Если n четно (n=2m), то Me(x)=x(m)+x(m+1)/2. Тогда Me(y)=y(m)+y(m+1)/2=k·x(m)+k·x(m+1)/2=k·x(m)+x(m+1)/2=k·Me(x).
Случай Б: k<0
При умножении на отрицательное число порядок элементов меняется на противоположный. Если x(1)≤…≤x(n), то после умножения на k получаем k·x(1)≥…≥k·x(n). Упорядоченный по возрастанию ряд y будет выглядеть так: y(1)=k·x(n),…,y(n)=k·x(1).
Однако медиана симметрична относительно центра распределения. Центральный элемент (или пара центральных элементов) при инверсии порядка остается тем же самым элементом (или парой), только значение которого умножено на k.
- Для нечетного n: центральный элемент x(m+1) переходит в y(m+1)=k·x(m+1). Следовательно, Me(y)=k·Me(x).
- Для четного n: центральная пара x(m),x(m+1) переходит в пару y(m),y(m+1), которая равна k·x(m+1),k·x(m) (в порядке возрастания). Их среднее: k·x(m+1)+k·x(m)/2=k·Me(x).
Случай В: k=0
Если k=0, то все yi=0. Медиана нулевого массива равна 0. Исходная медиана Me(x) умноженная на 0 также дает 0. Равенство выполняется тривиально.
Шаг 4. Итоговый вывод
Мы показали, что для любого действительного числа k:
- Среднее арифметического нового массива равно k·x.
- Медиана нового массива равна k·Me(x).
Что и требовалось доказать.
Доказано
а) Среднее арифметическое: kx=kx.
б) Медиана: Me(kx)=k·Me(x).
Доказательство опирается на алгебраические свойства суммы (для среднего) и свойства упорядочивания (для медианы). Важно отметить влияние знака коэффициента k на порядок элементов, хотя итоговая формула для медианы сохраняется.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 19 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 19?
Краткий ответ: Доказано: 1) Среднее арифметическое: kx = k x. 2) Медиана: Me(kx) = k · Me(x).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Сравнение описательных свойств среднего арифметического и медианы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.