ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 25: Межквартильный размах и диаграмма «ящик с усами»

Чтобы квартили и медиана были целыми числами или простыми значениями, удобно взять нечётное количество элементов, например, n=5. В этом случае:

• Медиана — это 3-й элемент (x₃).
• Первый квартиль Q₁ обычно определяется как медиана нижней половины данных (элементы до медианы). Для n=5 нижняя половина — это x_1,x₂. Медиана двух чисел — их среднее: x₁+x₂/2.
• Третий квартиль Q₃ — медиана верхней половины данных (элементы после медианы). Верхняя половина — это x_4,x₅. Среднее: x₄+x₅/2.

Однако в школьной практике часто используют упрощённое определение, где для малых выборок квартили могут совпадать с конкретными элементами или вычисляться по другим правилам. Давайте попробуем более гибкий подход, используя ключевой пример из учебника, чтобы понять логику построения.

В ключе предложен массив: -1,2,6,8,10. Проверим его характеристики по стандартным определениям для n=5:

1. Медиана : центральный элемент (3-й) равен 6. Условие выполнено.
2. Среднее арифметическое : сумма элементов равна -1+2+6+8+10=25. Количество элементов 5. Среднее: 25/5=5. Условие выполнено.
3. Квартили : Здесь возникает нюанс. Если использовать метод «включая медиану» или специфические алгоритмы пакетов статистики, результаты могут отличаться. Но давайте посмотрим на структуру данных вокруг медианы.
   Нижняя часть (до медианы): -1,2. Верхняя часть (после медианы): 8,10.
   Если мы хотим, чтобы Q₁=2 и Q₃=8, то в данном примере Q₁ совпадает с максимальным элементом нижней части, а Q₃ — с минимальным элементом верхней части. Это характерно для некоторых методов интерполяции или просто удачного выбора чисел, когда границы частей близки к нужным значениям.
   Давайте сконструируем свой пример, опираясь на строгие определения, которые чаще всего используются в школе (метод Тьюки или аналогичные).

Попробуем составить массив из 7 элементов, так как при нечётном количестве элементов и чётном количестве элементов в частях проще контролировать квартили.

Пусть элементы будут x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x₇.

• Медиана Me=x₄=6.
• Нижняя половина: x_1,x_2,x₃. Медиана этой тройки — это x₂. Значит, Q₁=x₂=2.
• Верхняя половина: x_5,x_6,x₇. Медиана этой тройки — это x₆. Значит, Q₃=x₆=8.

Итак, мы зафиксировали три элемента: x₂=2,x₄=6,x₆=8. Нам нужно выбрать x_1,x_3,x_5,x₇ так, чтобы выполнялись условия упорядоченности (x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅≤x₆≤x₇) и среднее арифметическое было равно 5.

Условия упорядоченности: x₁≤2 2≤x₃≤6 6≤x₅≤8 8≤x₇

Сумма всех элементов должна быть 7×5=35.Сумма известных элементов: 2+6+8=16. >Значит, сумма неизвестных элементов x₁+x₃+x₅+x₇=35-16=19.

Подберём числа: Пусть x₁=1 (меньше 2). Пусть x₃=3 (между 2 и 6). Пусть x₅=7 (между 6 и 8). Тогда x₇=19-(1+3+7)=19-11=8. Проверим условие x₇≥8: 8≥8 — верно.

Получаем массив: 1,2,3,6,7,8,8.

Рассмотрим числовой ряд: 1,2,3,6,7,8,8.

1. Количество элементов : n=7.
2. Медиана : Элемент под номером 7+1/2=4. Четвёртый элемент равен 6. Верно.
3. Первый квартиль (Q₁) : Медиана нижней половины (первых трёх элементов: 1,2,3). Медиана тройки — средний элемент, то есть 2. Верно.
4. Третий квартиль (Q₃) : Медиана верхней половины (последних трёх элементов: 7,8,8). Медиана тройки — средний элемент, то есть 8. Верно.
5. Среднее арифметическое : Сумма 1+2+3+6+7+8+8=35. Делим на 7: 35/7=5. Верно.

Таким образом, массив 1,2,3,6,7,8,8 является корректным ответом.

Пример из ключа -1,2,6,8,10 также может считаться верным в зависимости от используемого метода расчёта квартилей (например, если Q₁ берётся как значение, соответствующее положению n+1/4, то для n=5 позиция 1.5, что даёт среднее между 1-м и 2-м элементом: -1+2/2=0.5≠2. Однако, если используется метод, где для n=5 Q₁ — это 2-й элемент, а Q₃ — 4-й элемент, то ключ подходит идеально. В школьных задачах часто допускается использование простых определений: Q₁ — медиана левой части, Q₃ — медиана правой части. Для n=5 левая часть без медианы — это x_1,x₂. Их медиана зависит от метода. Самый безопасный путь — привести пример, который работает по строгому определению через разделение на две равные группы, как в моём constructed примере выше, либо принять пример из ключа, если он соответствует конкретной методике учебника (часто в таких задачах подразумевается, что Q₁ и Q₃ — это конкретные элементы ряда, стоящие на определённых позициях).

Давайте проверим ключ -1,2,6,8,10 по методу «позиция (n+1)/4»: n=5. Позиция Q₁: (5+1)/4=1.5. Значение: среднее между 1-м (-1) и 2-м (2) = 0.5. Не подходит. Позиция Q₃: 3(5+1)/4=4.5. Значение: среднее между 4-м (8) и 5-м (10) = 9. Не подходит. Но! Если использовать метод, где данные делятся на две части, включая медиану в обе части или исключая её, результаты меняются. Или если используется метод Excel QUARTILE.EXC vs INC. Однако, в контексте школьного курса «Вероятность и статистика» часто встречается упрощение: если n невелико, иногда считают Q₁ вторым элементом, а Q₃ предпоследним, или используют другие эвристики. Давайте найдём ещё один простой пример из 5 элементов, где Q₁=2 и Q₃=8 работают «как надо» для какого-то распространённого метода. Например, метод, где Q₁ — это медиана первых n+1/2 элементов? Нет. Рассмотрим массив: 2,2,6,8,8. Медиана: 6. Сумма: 2+2+6+8+8=26. Среднее: 5.2. Не подходит. Рассмотрим массив: 0,2,6,8,14. Медиана: 6. Сумма: 30. Среднее: 6. Не подходит. Вернёмся к моему примеру из 7 элементов: 1,2,3,6,7,8,8. Он абсолютно корректен по классическому определению (исключение медианы при делении на половины). Ещё один вариант из 5 элементов, если считать Q₁ как 2-й элемент, а Q₃ как 4-й элемент (что бывает в некоторых упрощённых схемах): Массив: a,2,6,8,b. Медиана 6. Q₁=2,Q₃=8. Сумма a+2+6+8+b=a+b+16. Нужно, чтобы среднее было 5, значит сумма 25. a+b=9. Причём a≤2 и b≥8. Если b=8, то a=1. Массив: 1,2,6,8,8. Проверка: 1≤2≤6≤8≤8. Да. Этот массив тоже хорош, если методика допускает такое определение квартилей.