10–11 классы Дерево случайного эксперимента и формула полной вероятности § 20. Дерево случайного эксперимента и формула полной вероятности

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 181

Тема: Дерево случайного эксперимента и формула полной вероятности

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Ольга Кузнецова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 180 183 →

Условие

В классе 27 человек, их случайным образом разделили на три группы по 9 человек. Найти вероятность того, что из трёх подруг (Анна, Ольга и Ирина)

а) никакие две не окажутся в одной группе

б) ровно две окажутся в какой-то одной группе.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Решение задачи №181

План решения:

Определим общее количество способов распределения трёх подруг (Анна, Ольга, Ирина) по трём группам.
Для пункта а) найдём количество благоприятных исходов, где каждая подруга находится в своей группе, и вычислим вероятность.
Для пункта б) найдём количество благоприятных исходов, где ровно две подруги находятся в одной группе, а третья — в другой, и вычислим вероятность.
Проверим результаты, убедившись, что сумма вероятностей всех возможных случаев равна единице (или близка к ней с учётом округления).

Шаг 1. Модель эксперимента и общее число исходов

Пусть у нас есть три группы: G₁, G₂ и G₃. Каждая группа содержит 9 человек. Всего в классе 27 человек.

Рассмотрим размещение только трёх конкретных подруг: Анны (A), Ольги (O) и Ирины (I). Так как разделение происходит случайным образом, мы можем рассматривать вероятности попадания каждой подруги в любую из групп, учитывая, что места в группах ограничены.

Более удобный подход для таких задач — комбинаторный или последовательное условное вероятностное рассуждение. Используем метод последовательного размещения.

Всего мест в классе: 27. Мест в первой группе: 9, во второй: 9, в третьей: 9.

Вероятность того, что Анна попадёт в какую-то конкретную группу (например, G₁), равна 9/27=1/3. Аналогично для других групп.

Однако нам важно не то, в какую именно группу они попали, а то, оказались ли они вместе или нет. Поэтому зафиксируем место Анны. Пусть Анна попала в некоторую группу. Это событие имеет вероятность 1 (так как она обязательно где-то будет).

Шаг 2. Пункт а) Никакие две не окажутся в одной группе

Фиксируем положение Анны. Пусть она заняла одно из мест в какой-то группе. После этого в классе осталось 26 свободных мест.

Чтобы никакие две подруги не оказались в одной группе, Ольга должна попасть в одну из двух других групп (не ту, где Анна).

В группе, где находится Анна, осталось 8 свободных мест. В двух других группах суммарно 9+9=18 свободных мест.

Вероятность того, что Ольга попадёт в другую группу (отличную от группы Анны):

P(O∉G_A)=18/26

Теперь предположим, что Ольга успешно попала в другую группу. Зафиксируем её положение. Теперь в классе осталось 25 свободных мест.

Ирина должна попасть в третью группу (ту, где нет ни Анны, ни Ольги).

Где сейчас свободные места?

В группе Анны: 8 мест.
В группе Ольги: 8 мест (так как Ольга заняла одно из 9).
В третьей группе (пустой для них): 9 мест.

Ирина должна попасть именно в эту третью группу. Количество благоприятных мест для Ирины: 9. Общее количество свободных мест: 25.

Вероятность того, что Ирина попадёт в третью группу при условии, что Ольга уже в другой:

P(I∈G_third|O∉G_A)=9/25

Искомая вероятность для пункта а) — произведение этих условных вероятностей:

P(a)=1·18/26·9/25

Вычислим значение:

P(a)=18·9/26·25=162/650

Сократим дробь на 2:

P(a)=81/325

Переведём в десятичную дробь:

P(a)≈0,24923...

Округляем до тысячных: 0,249.

Шаг 3. Пункт б) Ровно две окажутся в какой-то одной группе

Событие «ровно две подруги в одной группе» означает, что одна пара сидит вместе, а третья подруга сидит отдельно от этой пары.

Возможны три случая выбора пары:

Анна и Ольга вместе, Ирина отдельно.
Анна и Ирина вместе, Ольга отдельно.
Ольга и Ирина вместе, Анна отдельно.

Из-за симметрии вероятности этих случаев равны. Найдём вероятность первого случая и умножим на 3.

Случай 1: Анна и Ольга вместе, Ирина отдельно.

Фиксируем Анну. Она занимает какое-то место. Осталось 26 мест.

Чтобы Ольга оказалась в той же группе, что и Анна, она должна занять одно из 8 оставшихся мест в группе Анны.

P(O∈G_A)=8/26

Теперь Анна и Ольга заняли два места в одной группе. Осталось 25 свободных мест в классе.

Ирина должна оказаться не в этой группе. В группе Анны и Ольги осталось 7 свободных мест. В двух других группах суммарно 9+9=18 свободных мест.

Вероятность того, что Ирина попадёт в другую группу:

P(I∉G_AO)=18/25

Вероятность этого конкретного случая:

P(случай 1)=8/26·18/25=144/650

Так как всего есть 3 равновероятных способа выбрать пару, которая окажется вместе, полная вероятность события б) равна:

P(b)=3·144/650=432/650

Сократим дробь на 2:

P(b)=216/325

Переведём в десятичную дробь:

P(b)≈0,66461...

Округляем до тысячных: 0,665.

Шаг 4. Проверка результата

Рассмотрим все возможные варианты размещения трёх подруг относительно групп:

Все трое в разных группах (пункт а).
Ровно двое в одной группе, третий в другой (пункт б).
Все трое в одной группе.

Найдём вероятность третьего случая (все трое в одной группе).

Фиксируем Анну. Вероятность, что Ольга попадёт в ту же группу: 8/26.

При этом условии, чтобы Ирина тоже попала в эту же группу, ей нужно занять одно из 7 оставшихся мест в этой группе из 25 свободных.

P(c)=8/26·7/25=56/650=28/325

Сумма вероятностей всех взаимоисключающих событий должна быть равна 1:

P(a)+P(b)+P(c)=81/325+216/325+28/325=81+216+28/325=325/325=1

Расчёт верен. Сумма округлённых значений: 0,249+0,665+0,086=0,999≈1.

Ответ

а) 0,249

б) 0,665

Задача решена методом условных вероятностей с фиксацией положения первой подруги. Для пункта а) рассчитана вероятность попадания остальных подруг в другие группы. Для пункта б) учтены три варианта выбора пары, оказавшейся в одной группе. Проверка выполнена через сумму вероятностей всех возможных исходов (разные группы, ровно одна пара, все в одной).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 181 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 181?

Краткий ответ: а) 0,249 б) 0,665.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 20. Дерево случайного эксперимента и формула полной вероятности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.