ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 449: Выборочные оценки среднего значения и дисперсии
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Мария Волкова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
На листе площадью 100 см² нарисована фигура неправильной формы (см. рис. 149). Лист попал под дождь. Для оценки площади фигуры a предложена формула a=d1+0,5d2/d, где d1 — капли внутри, d2 — на границе, d — всего капель. Каковы свойства этой оценки?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для анализа свойств оценки площади фигуры a необходимо рассмотреть два ключевых критерия статистики: несмещённость и состоятельность. Оценивание проводится методом Монте-Карло (геометрическая вероятность), где площадь листа S=100 см² является известной константой.
Шаг 1. Проверка на несмещённость
Оценка называется несмещённой , если математическое ожидание оценки равно истинному значению оцениваемого параметра: E(a)=a.
Рассмотрим случайную величину для одной капли. Вероятность того, что капля попадёт строго внутрь фигуры, равна p1=a/S. Вероятность попадания на границу обычно пренебрежимо мала в непрерывных моделях, но в данной формуле она учтена с коэффициентом 0,5, что соответствует правилу трапеций или усреднению для граничных точек. Если считать, что граница имеет нулевую меру площади, то основной вклад дают внутренние точки.
Формула оценки: a=S·d1+0,5d2/d (Примечание: в условии дана формула без явного умножения на S=100, но так как a — это площадь в см², а отношение капель безразмерно, то фактически оценка площади равна 100·d1+0,5d2/d. Будем считать, что под a понимается доля площади, либо формула уже включает масштабный коэффициент 100. Для строгости будем анализировать долю p=d1+0,5d2/d).
Математическое ожидание доли попаданий внутрь при большом числе испытаний стремится к истинной вероятности p=a/S. Линейность математического ожидания гарантирует, что E(d1+0,5d2/d)≈a/S. Следовательно, оценка площади является несмещённой (или асимптотически несмещённой, если учитывать поправки на конечное число наблюдений).
Шаг 2. Проверка на состоятельность
Оценка называется состоятельной , если она сходится по вероятности к истинному значению при увеличении объёма выборки (d→∞).
Согласно закону больших чисел Бернулли, частота событий (доля капель внутри фигуры) сходится к их теоретической вероятности:
limd→∞d1/d=p1=a/SТак как d2 (капли на границе) также пропорциональны общему числу капель, то отношение d1+0,5d2/d будет стремиться к истинной доле площади фигуры. Дисперсия этой оценки убывает как 1/d, то есть D(a)→0 при d→∞.
Поскольку дисперсия стремится к нулю, а математическое ожидание совпадает с истинным значением, оценка является состоятельной.
Шаг 3. Вывод
Использование коэффициента 0,5 для граничных капель является стандартной практикой для повышения точности оценки при малом числе наблюдений (метод «половинного веса»). Это не нарушает свойства несмещённости и состоятельности в предельном случае.
Таким образом, предложенная оценка обладает двумя важными свойствами:
- Несмещённость : среднее значение оценки по многим экспериментам близко к истинной площади.
- Состоятельность : с ростом числа капель ошибка оценки уменьшается до нуля.
оценка a несмещённая и состоятельная
В условии формула приведена как a=d1+0,5d2/d. Строго говоря, эта величина безразмерна (отношение площадей). Чтобы получить площадь в см², нужно умножить на 100. Однако в контексте школьных задач часто подразумевается, что оценка площади пропорциональна этому отношению, или же a обозначает относительную площадь. Свойства несмещённости и состоятельности сохраняются независимо от линейного масштабирования.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 449 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 449?
Краткий ответ: оценка a несмещённая и состоятельная.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 44. Выборочные оценки среднего значения и дисперсии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.