ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 447: Выборочные оценки среднего значения и дисперсии
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Анна Соколова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Восьмигранная игральная кость бросается 100 раз. Приведите пример состоятельной и несмещённой оценки вероятности выпадения грани с цифрой 4. Объясните свойства этой оценки.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче требуется построить оценку вероятности события на основе выборки. Поскольку мы имеем дело с бросанием игральной кости (дискретная случайная величина), а интересующее нас событие — выпадение конкретной грани, то для оценки вероятности естественно использовать частоту этого события.
Шаг 1. Определение оценки
Пусть X — количество выпадений грани с цифрой 4 в серии из n=100 бросков. Тогда оценка вероятности θ=P(выпала 4) определяется как относительная частота:
θ=X/nЗдесь X подчиняется биномиальному распределению B(n,θ), где n=100. Таким образом, наша оценка — это просто доля успешных исходов в выборке.
Шаг 2. Проверка несмещённости
Оценка называется несмещённой , если математическое ожидание оценки равно истинному значению оцениваемого параметра: E[θ]=θ.
Вычислим математическое ожидание нашей оценки:
E[θ]=E[X/n]=1/nE[X]Так как X∼B(n,θ), то E[X]=nθ. Подставим это значение:
E[θ]=1/n·nθ=θСледовательно, оценка θ является несмещённой.
Шаг 3. Проверка состоятельности
Оценка называется состоятельной , если она сходится по вероятности к истинному значению параметра при увеличении объёма выборки (n→∞). То есть для любого ε>0:
limn→∞P(|θ-θ|<ε)=1Это свойство следует из закона больших чисел Бернулли. Частота появления события в независимых испытаниях стремится к его вероятности при неограниченном росте числа испытаний.
Можно также проверить через дисперсию. Дисперсия оценки равна:
D(θ)=D(X/n)=1/n2D(X)=nθ(1-θ)/n2=θ(1-θ)/nПри n→∞ дисперсия D(θ)→0. Так как оценка несмещённая и её дисперсия стремится к нулю, то оценка является состоятельной.
Пример оценки: p=k/100, где k — число выпадений четвёрки.
Несмещённость: E[p]=p.
Состоятельность: следует из закона больших чисел (D(p)→0 при n→∞).
Задача теоретическая, проверяющая понимание свойств оценок (несмещённость, состоятельность) на простом примере биномиального распределения. Ключевые моменты: связь частоты и вероятности, формула математического ожидания биномиальной величины, закон больших чисел.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 447 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 447?
Краткий ответ: Пример оценки: p = k100, где k — число выпадений четвёрки. Несмещённость: E[ p] = p. Состоятельность: следует из закона больших чисел (D( p) 0 при n ∞).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 44. Выборочные оценки среднего значения и дисперсии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.