ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 446: Выборочные оценки среднего значения и дисперсии
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Татьяна Белова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Оцените математическое ожидание EX случайной величины X («сумма очков при бросании двух кубиков»), бросив пару кубиков 20 раз. Постройте траекторию оценки для
а) суммы очков X1 первого броска
б) полусуммы X1+Xn/2 первого и последнего значений
в) среднего арифметического X. Определите, какая из оценок приближается к истинному значению 7, и являются ли они состоятельными и несмещёнными.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи нам необходимо сначала определить теоретическое математическое ожидание случайной величины X (сумма очков при бросании двух игральных кубиков), а затем проанализировать свойства предложенных оценок. Истинное значение математического ожидания EX является константой, к которой стремятся состоятельные оценки.
Шаг 1. Вычисление истинного математического ожидания EX
Пусть X1 — результат первого кубика, X2 — результат второго кубика. Тогда сумма очков X=X1+X2. Так как броски независимы и равновероятны, то для одного кубика E(Xi)=1+2+3+4+5+6/6=3,5.
По свойству линейности математического ожидания:
EX=E(X1+X2)=EX1+EX2=3,5+3,5=7.Таким образом, истинное значение, к которому должны приближаться хорошие оценки, равно 7.
Шаг 2. Анализ оценки а): сумма очков X1 первого броска
В качестве оценки используется единственное наблюдение из выборки: θa=X1.
Несмещённость: Математическое ожидание этой оценки равно E(θa)=E(X1)=7. Поскольку оно совпадает с истинным значением, оценка несмещённая .
Состоятельность: Дисперсия оценки равна дисперсии одного броска пары кубиков. Для одного кубика дисперсия D(Xi)=E(X2i)-(EXi)2=12+…+62/6-3,52=91/6-12,25≈2,92. Для суммы двух кубиков D(X)=D(X1)+D(X2)≈5,83. При увеличении объёма выборки n эта оценка не меняется (мы всегда берём только первый элемент), её дисперсия не стремится к нулю. Следовательно, оценка не является состоятельной . Траектория такой оценки будет хаотично колебаться вокруг 7, не сходясь к нему.
Шаг 3. Анализ оценки б): полусумма X1+Xn/2
Оценка строится на основе двух конкретных наблюдений: первого и последнего в выборке: θb=X1+Xn/2.
Несмещённость:
E(θb)=E(X1+Xn/2)=1/2(EX1+EXn)=1/2(7+7)=7.Оценка несмещённая .
Состоятельность: Найдем дисперсию оценки. Так как X1 и Xn независимы:
D(θb)=D(X1+Xn/2)=1/4(DX1+DXn)=1/4(DX+DX)=1/2DX≈5,83/2≈2,92.При росте объёма выборки n мы всё равно используем только два наблюдения (X1 и Xn). Дисперсия оценки остаётся постоянной и не стремится к нулю. Значит, оценка не является состоятельной . Она также не будет устойчиво сходиться к 7 при бесконечном увеличении числа опытов.
Шаг 4. Анализ оценки в): среднее арифметическое X
Классическая выборочная оценка среднего: θc=X=1/n∑ni=1Xi.
Несмещённость:
E(X)=E(1/n∑ni=1Xi)=1/n∑ni=1EXi=1/n·n·7=7.Оценка несмещённая .
Состоятельность: Дисперсия выборочного среднего:
D(X)=D(1/n∑ni=1Xi)=1/n2∑ni=1DXi=n·DX/n2=DX/n.Так как DX конечно (≈5,83), то при n→∞ имеем D(X)→0. По закону больших чисел, X сходится по вероятности к EX. Следовательно, оценка является состоятельной . Траектория этой оценки будет плавно сходиться к значению 7.
Шаг 5. Сравнение и вывод
Все три оценки являются несмещёнными, так как их математические ожидания равны истинному значению 7. Однако только третья оценка (среднее арифметическое) использует всю информацию из выборки, что приводит к уменьшению дисперсии с ростом n и обеспечению состоятельности.
Траектории оценок:
- а) Колеблется сильно, не сходится.
- б) Колеблется меньше, чем а), но тоже не сходится к 7 при n→∞.
- в) Сходится к 7.
а) Оценка X1: несмещённая, но не состоятельная.
б) Оценка X1+Xn/2: несмещённая, но не состоятельная.
в) Оценка X: несмещённая и состоятельная.
Задача проверяет понимание свойств статистических оценок. Ключевой момент: использование подмножества данных (как в пунктах а и б) сохраняет несмещённость, но лишает оценку состоятельности, так как дисперсия не стремится к нулю при увеличении общего объема выборки. Только полное усреднение (пункт в) обеспечивает состоятельность.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 446 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 446?
Краткий ответ: а) Оценка X_1: несмещённая, но не состоятельная. б) Оценка X_1 + X_n2: несмещённая, но не состоятельная. в) Оценка X: несмещённая и состоятельная.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 44. Выборочные оценки среднего значения и дисперсии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.