ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 444: Выборочные оценки среднего значения и дисперсии
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Имеется выборка из пяти измеренных значений роста юношей ( X_1, X_2, ..., X_5):169, 173, 179, 181 и 174 см. Построить траекторию оценки θ и определить, является ли она состоятельной и несмещённой, если
а) θ=X2
б) θ=X1+Xn/2
в) θ=2X1-Xn
г) θ=X.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи необходимо проанализировать свойства оценок параметра θ (среднего значения генеральной совокупности) на основе выборки объёма n=5. Данные: 169,173,179,181,174 см.
План действий:
- Вычислить истинное среднее значение выборки x и дисперсию s2, если потребуется для контекста.
- Для каждой оценки θ: определить её математическое ожидание E(θ) и дисперсию D(θ).
- Проверить несмещённость: выполняется ли равенство E(θ)=X (или M(X))?
- Проверить состоятельность: стремится ли дисперсия D(θ) к нулю при увеличении объёма выборки n→∞?
Шаг 1. Анализ пункта а) θ=X2
Рассмотрим оценку θ, равную второму элементу выборки X2.
Несмещённость:
Математическое ожидание отдельного элемента выборки равно математическому ожиданию случайной величины из генеральной совокупности: E(X2)=M(X)=X. Следовательно, оценка является несмещённой .
Состоятельность:
Дисперсия оценки равна дисперсии одного наблюдения: D(θ)=D(X2)=D(X)=s2/1=s2 (где s2 — дисперсия генеральной совокупности).
При увеличении объёма выборки n→∞ дисперсия оценки D(θ) не уменьшается, она остаётся постоянной и равной D(X). Поскольку D(θ)/n не стремится к нулю (так как D(θ) константа), условие состоятельности не выполняется. Оценка не является состоятельной .
Шаг 2. Анализ пункта б) θ=X1+Xn/2
Здесь X1 и Xn — первый и последний элементы выборки. В условии сказано «выборка из пяти значений», но формула содержит Xn, что обычно подразумевает произвольный объём n. Будем считать, что мы анализируем поведение оценки при росте n, где Xn — n-й элемент.
Несмещённость:
По свойству линейности математического ожидания: E(θ)=E(X1+Xn/2)=1/2E(X1)+1/2E(Xn) Так как E(X1)=E(Xn)=M(X)=X, то: E(θ)=1/2X+1/2X=X Оценка является несмещённой .
Состоятельность:
Так как элементы выборки независимы, дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(θ)=D(X1+Xn/2)=1/4D(X1)+1/4D(Xn)=1/4D(X)+1/4D(X)=1/2D(X) При n→∞ дисперсия оценки D(θ) стремится к 1/2D(X), а не к 0. Следовательно, оценка не является состоятельной .
Шаг 3. Анализ пункта в) θ=2X1-Xn
Несмещённость:
Найдём математическое ожидание: E(θ)=E(2X1-Xn)=2E(X1)-E(Xn)=2X-X=X Оценка является несмещённой .
Состоятельность:
Найдём дисперсию, учитывая независимость X1 и Xn: D(θ)=D(2X1-Xn)=22D(X1)+(-1)2D(Xn)=4D(X)+D(X)=5D(X) При n→∞ дисперсия D(θ) стремится к 5D(X), то есть не стремится к нулю. Оценка не является состоятельной .
Шаг 4. Анализ пункта г) θ=X
Здесь X=1/n(X1+X2+bigdots+Xn) — выборочное среднее арифметическое.
Несмещённость:
Известно, что выборочное среднее является несмещённой оценкой среднего генеральной совокупности: E(X)=M(X)=X Оценка является несмещённой .
Состоятельность:
Дисперсия выборочного среднего равна: D(X)=D(X)/n При увеличении объёма выборки n→∞ дисперсия D(X)→0. Это означает, что оценка сходится по вероятности к истинному значению параметра. Следовательно, оценка является состоятельной .
Итоговый ответ
а) Несмещённая, не состоятельная.
б) Несмещённая, не состоятельная.
в) Несмещённая, не состоятельная.
г) Несмещённая, состоятельная.
а) Несмещённая, не состоятельная.
б) Несмещённая, не состоятельная.
в) Несмещённая, не состоятельная.
г) Несмещённая, состоятельная.
В задачах такого типа ключевым является различие между несмещённостью (равенство матожидания оценки истинному параметру) и состоятельностью (стремление дисперсии оценки к нулю при n->inf). Только выборочное среднее обладает обоими свойствами среди предложенных вариантов. Оценки, зависящие от фиксированного числа элементов выборки (даже двух), имеют постоянную дисперсию, пропорциональную дисперсии генеральной совокупности, поэтому они не состоятельны.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 444 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 444?
Краткий ответ: а) Несмещённая, не состоятельная. б) Несмещённая, не состоятельная. в) Несмещённая, не состоятельная. г) Несмещённая, состоятельная.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 44. Выборочные оценки среднего значения и дисперсии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.