ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 443: Выборочные оценки среднего значения и дисперсии

Оценка X_n называется несмещённой , если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру: E(X_n)=θ.

• Оценка 1: последнее выпавшее число (X_n).
  Так как каждый бросок имеет одинаковое распределение, то E(X_n)=E(X)=θ. Следовательно, эта оценка является несмещённой.
• Оценка 2: среднее арифметическое всех бросков (1/n∑ni=1X_i).
  По свойству линейности математического ожидания: E(1/n∑ni=1X_i)=1/n∑ni=1E(X_i)=1/n·n·θ=θ. Эта оценка также является несмещённой.
• Оценка 3: наименьшее из выпавших чисел (X₍₁₎=min(X_1,…,X_n)).
  Минимум выборки всегда меньше или равен любому другому элементу выборки. В частности, X₍₁₎≤X_i для любого i. Поэтому E(X₍₁₎)≤E(X_i)=θ. При этом строгое неравенство выполняется, так как вероятность того, что минимум будет строго меньше среднего значения, положительна (если кубик не вырожденный). Таким образом, E(X₍₁₎)<θ, оценка смещена в сторону уменьшения.
• Оценка 4: полусумма наименьшего и наибольшего чисел (X₍₁₎+X_(n)/2).
  Здесь X_(n)=max(X_1,…,X_n). Аналогично предыдущему пункту, максимум смещён вверх (E(X_(n))>θ), а минимум смещён вниз (E(X₍₁₎)<θ). Для симметричных распределений их сумма может давать несмещённую оценку, но кубик смещённый , то есть распределение не обязательно симметрично относительно своего математического ожидания. Даже если бы оно было симметричным, для малых n это не гарантировано, а для общего случая смещённого кубика нет оснований полагать, что смещения минимума и максимума компенсируют друг друга точно до θ. Более того, обычно такие оценки порядка являются смещёнными. Например, если вероятности выпадения единиц и шестёрок малы, а остальных велики, то минимум будет близок к 1, а максимум к 6, тогда как среднее может быть около 3.5. Полусумма (1+6)/2=3.5 совпадёт случайно. Но в общем случае E(X₍₁₎+X_(n)/2)≠θ. Следовательно, эту оценку считаем смещённой.

Вывод по пункту а): Несмещёнными являются оценки 1 и 2.

Оценка X_n называется состоятельной , если она сходится по вероятности к истинному значению параметра θ при увеличении объёма выборки n→∞. То есть для любого ε>0: lim_n→∞P(|X_n-θ|≥ε)=0.

• Оценка 1: последнее выпавшее число (X_n).
  При увеличении n значение X_n продолжает колебаться в пределах от 1 до 6 с теми же вероятностями, что и любой отдельный бросок. Оно не концентрируется вокруг θ. Вероятность ошибки P(|X_n-θ|≥ε) не стремится к нулю. Оценка не состоятельна.
• Оценка 2: среднее арифметическое всех бросков (X_n).
  Согласно Закону больших чисел (в форме Чебышёва или Хинчина), выборочное среднее независимых одинаково распределённых случайных величин со конечным математическим ожиданием сходится по вероятности к этому ожиданию. Дисперсия выборочного среднего равна D(X)/n, которая стремится к 0 при n→∞. Следовательно, оценка состоятельна.
• Оценка 3: наименьшее из выпавших чисел (X₍₁₎).
  При n→∞ вероятность того, что хотя бы один бросок даст минимально возможное значение на кубике (например, 1), стремится к 1 (при условии, что P(X=1)>0). Таким образом, X₍₁₎ сходится по вероятности к минимальному значению диапазона (к 1), а не к математическому ожиданию θ (которое обычно больше 1). Оценка не состоятельна.
• Оценка 4: полусумма наименьшего и наибольшего чисел (X₍₁₎+X_(n)/2).
  Аналогично, при n→∞ минимум X₍₁₎ сходится к нижней границе поддержки распределения (к 1), а максимум X_(n) сходится к верхней границе (к 6). Их полусумма сходится к 1+6/2=3.5. Математическое ожидание θ смещённого кубика может быть любым числом от 1 до 6. Если θ≠3.5, то оценка не сходится к θ. Даже если θ=3.5, сама структура оценки зависит от экстремальных значений, которые не усредняются, а фиксируются на границах. В общем случае для произвольного смещённого кубика эта оценка не является состоятельной оценкой математического ожидания.

Вывод по пункту б): Состоятельной является только оценка 2.