ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 509
Тема: Случайная последовательность (поток) независимых событий
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Роман Жуков, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что при λ>1 вероятности в распределении Пуассона сначала возрастают, а затем убывают. Покажите, что наибольшую вероятность имеет событие X=[λ] (целая часть числа λ).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства утверждения о поведении вероятностей в распределении Пуассона нам необходимо проанализировать отношение соседних вероятностей. Распределение Пуассона задается формулой P(X=k)=λke-λ/k! для k=0,1,2,…, где λ>0 — параметр распределения.
Шаг 1. Сравнение соседних вероятностей
Рассмотрим отношение вероятности события X=k+1 к вероятности события X=k. Это позволит определить, когда последовательность возрастает, а когда убывает.
P(X=k+1)/P(X=k)=λk+1e-λ/(k+1)!/λke-λ/k!Сократим общие множители e-λ и упростим степени λ:
P(X=k+1)/P(X=k)=λk+1/λk·k!/(k+1)!=λ·1/k+1=λ/k+1Шаг 2. Анализ условий возрастания и убывания
Последовательность вероятностей возрастает, если каждое следующее значение больше предыдущего, то есть P(X=k+1)>P(X=k), что эквивалентно условию:
λ/k+1>1impliesk+1<λimpliesk<λ-1Последовательность убывает, если P(X=k+1)<P(X=k), что эквивалентно:
λ/k+1<1impliesk+1>λimpliesk>λ-1Если λ не является целым числом, то существует единственное целое k, при котором происходит переход от возрастания к убыванию. Если же λ целое, то при k=λ-1 имеем равенство P(X=λ)=P(X=λ-1).
Шаг 3. Определение наибольшей вероятности (моды)
Нам нужно найти такое k, при котором вероятность максимальна. Из условия возрастания k<λ-1 следует, что вероятности растут до тех пор, пока индекс k меньше λ-1. Максимальное целое k, удовлетворяющее этому неравенству, связано с целой частью числа λ.
Обозначим [λ] как целую часть числа λ. Рассмотрим два случая:
- Случай 1: λ не является целым числом.
Тогда [λ]<λ<[λ]+1. Неравенство k<λ-1 выполняется для всех k≤[λ]-1. При k=[λ] уже верно k>λ-1 (так как [λ]>λ-1). Следовательно, рост заканчивается после k=[λ]-1, а спад начинается после k=[λ]. Таким образом, максимум достигается при k=[λ].
- Случай 2: λ является целым числом.
Пусть λ=m. Тогда [λ]=m. Условие возрастания k<m-1 означает, что P(X=m)>P(X=m-1) неверно? Проверим точнее. При k=m-1: P(X=m)/P(X=m-1)=m/m=1, значит P(X=m)=P(X=m-1). При k=m: P(X=m+1)/P(X=m)=m/m+1<1, значит P(X=m+1)<P(X=m). Таким образом, максимальные вероятности имеют события X=m-1 и X=m. Поскольку m=[λ], то событие X=[λ] действительно входит в множество событий с наибольшей вероятностью. В задачах такого типа обычно подразумевается, что мода может быть не единственной, но утверждение «наибольшую вероятность имеет событие X=[λ]» остается верным в смысле принадлежности к множеству модальных значений.
Шаг 4. Проверка на примере
Пусть λ=2.5. Тогда [λ]=2. Вычислим вероятности: P(X=0)=e-2.5≈0.082 P(X=1)=2.5·P(X=0)≈0.205 P(X=2)=2.5/2·P(X=1)=1.25·0.205≈0.256 P(X=3)=2.5/3·P(X=2)≈0.833·0.256≈0.213 Видно, что вероятности сначала возрастают (0.082→0.205→0.256), достигая максимума при X=2, а затем убывают (0.256→0.213). Так как [2.5]=2, утверждение подтверждено.
Пусть λ=3. Тогда [λ]=3. P(X=2)=32e-3/2!=4.5e-3 P(X=3)=33e-3/3!=4.5e-3 P(X=4)=34e-3/4!=3.375e-3 Максимумы при X=2 и X=3. Событие X=[λ]=3 имеет наибольшую вероятность (равную вероятности X=2).
Доказательство основано на анализе отношения P(X=k+1)/P(X=k)=λ/k+1.
Вероятности возрастают при kλ-1.
Наибольшую вероятность имеет событие X=[λ] (или X=[λ] и X=[λ]-1, если λ целое).
В решении использован стандартный метод анализа моды дискретного распределения через отношение соседних членов. Особое внимание уделено случаю целого lambda, где мода не единственна, но утверждение учебника все равно считается выполненным, так как X=[lambda] входит в множество мод.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 509 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 509?
Краткий ответ: Доказательство основано на анализе отношения P(X=k+1)P(X=k) = k+1. Вероятности возрастают при k - 1. Наибольшую вероятность имеет событие X = [ ] (или X = [ ] и X = [ ]-1, если целое).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 53. Случайная последовательность (поток) независимых событий.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.