10–11 классы Случайная последовательность (поток) независимых событий § 53. Случайная последовательность (поток) независимых событий

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 510

Тема: Случайная последовательность (поток) независимых событий

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Светлана Крылова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 509 511 →

Условие

Известно, что если случайные величины X и Y независимы и имеют распределения Пуассона с параметрами λ₁ и λ₂ соответственно, то случайная величина X+Y также имеет распределение Пуассона с некоторым параметром λ. Выразите λ через λ₁ и λ₂.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче требуется найти параметр распределения Пуассона для суммы двух независимых случайных величин. Мы воспользуемся методом производящих функций (или характеристических функций), так как он является наиболее строгим и наглядным способом доказательства аддитивности параметров в распределении Пуассона.

Шаг 1. Запишем производящие функции для слагаемых

Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром lambda₁/lambda. Вероятность того, что X=k, равна:

P(X=k)=lambdak1e^-lambda₁/k!

Производящая функция G_X(z) определяется как математическое ожидание z^X:

G_X(z)=E[z^X]=suminftyk=0z^klambdak1e^-lambda₁/k!=e^-lambda₁suminftyk=0(zlambda₁)^k/k!//

Используя разложение экспоненты в ряд Тейлора e^x=suminftyk=0x^k/k!/, получаем:

G_X(z)=e^-lambda₁e^zlambda₁=e^{lambda₁(z-1)}/

Аналогично, для независимой случайной величины Y с параметром lambda₂/lambda производящая функция будет иметь вид:

G_Y(z)=e^{lambda₂(z-1)}

Шаг 2. Используем свойство независимости

Так как X и Y независимы, производящая функция их суммы Z=X+Y равна произведению их индивидуальных производящих функций:

G_X+Y(z)=G_X(z)G_Y(z)/

Подставим найденные выражения:

G_X+Y(z)=e^{lambda₁(z-1)}e^{lambda₂(z-1)}=e^{(lambda₁+lambda₂)(z-1)}/

Шаг 3. Определим параметр lambda/lambda

По условию задачи, сумма X+Y также имеет распределение Пуассона с некоторым параметром lambda/lambda. Производящая функция для такой величины должна быть:

G_X+Y(z)=e^lambda(z-1)

Сравнивая это выражение с результатом из шага 2, мы видим, что показатели степеней должны совпадать:

lambda(z-1)=(lambda₁+lambda₂)(z-1)

Отсюда следует равенство параметров:

lambda=lambda₁+lambda₂

Проверка: Математическое ожидание суммы независимых величин равно сумме их математических ожиданий. Для распределения Пуассона E[X]=lambda₁/lambda, E[Y]=lambda₂/lambda, а для суммы E[X+Y]=lambda/lambda. Следовательно, lambda/lambda=lambda₁+lambda₂/lambda, что подтверждает полученный результат.

Ответ

lambda=lambda₁+lambda₂

Задача решается через производящие функции или характеристические функции. Ключевой момент — свойство независимости, позволяющее перемножить функции, и уникальность представления экспоненциальной функции.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 510 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 510?

Краткий ответ: lambda = lambda_1 + lambda_2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 53. Случайная последовательность (поток) независимых событий.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.