ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 527: Свойства ковариации
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Вера Лапина, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Игральный кубик бросают несколько раз. Пусть X1 — число очков при первом броске, а X — сумма всех выпавших очков. Найти коэффициент корреляции этих величин, если кубик бросили
а) 3 раза
б) 5 раз
в) n раз.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи нам нужно найти коэффициент корреляции между случайной величиной X1 (результат первого броска) и суммой всех очков X. Вспомним формулу коэффициента корреляции:
ρ(X1,X)=Cov(X1,X)/D(X1)·D(X)Нам понадобятся свойства ковариации и дисперсии. Пусть Xi — результат i-го броска кубика. Тогда сумма очков за n бросков равна X=X1+X2+…+Xn.
Шаг 1. Вычислим дисперсию одного броска D(X1)
Игральный кубик имеет 6 граней с очками от 1 до 6. Математическое ожидание одного броска:
E(X1)=1+2+3+4+5+6/6=21/6=3,5Математическое ожидание квадрата величины:
E(X21)=12+22+32+42+52+62/6=1+4+9+16+25+36/6=91/6Дисперсия одного броска:
D(X1)=E(X21)-(E(X1))2=91/6-(3,5)2=91/6-49/4=182-147/12=35/12Шаг 2. Выразим ковариацию Cov(X1,X) через свойства ковариации
Так как X=X1+X2+…+Xn, то по линейности ковариации по второму аргументу:
Cov(X1,X)=Cov(X1,X1+X2+…+Xn)=∑ni=1Cov(X1,Xi)Броски кубика независимы. Для любых i≠1 величины X1 и Xi независимы, поэтому их ковариация равна нулю: Cov(X1,Xi)=0 при i>1.
Остается только первое слагаемое:
Cov(X1,X)=Cov(X1,X1)=D(X1)Таким образом, числитель формулы корреляции равен D(X1).
Шаг 3. Выразим дисперсию суммы D(X)
Так как все броски X1,…,Xn независимы и одинаково распределены, дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
D(X)=D(X1+…+Xn)=∑ni=1D(Xi)=n·D(X1)Шаг 4. Подставим всё в формулу коэффициента корреляции
Подставляем найденные выражения в исходную формулу:
ρ(X1,X)=D(X1)/D(X1)·nD(X1)=D(X1)/n·(D(X1))2=D(X1)/D(X1)n=1/nМы получили общую формулу для n бросков. Теперь применим её к конкретным пунктам задачи.
Шаг 5. Решение пунктов а), б), в)
а) Кубик бросили 3 раза (n=3).
ρ=1/3б) Кубик бросили 5 раз (n=5).
ρ=1/5в) Кубик бросили n раз.
ρ=1/nа) 1/3
б) 1/5
в) 1/n
Решение опирается на фундаментальные свойства ковариации и дисперсии для независимых величин. Ключевой момент: ковариация переменной с суммой, включающей эту переменную, равна дисперсии самой этой переменной (так как остальные слагаемые независимы). Дисперсия суммы независимых одинаковых величин пропорциональна их количеству. Это приводит к сокращению дисперсии в числителе и знаменателе, оставляя зависимость только от корня из числа испытаний.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 527 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 527?
Краткий ответ: а) 1√3 б) 1√5 в) 1√n.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.