ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 523: Свойства ковариации
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Игральный кубик бросают два раза. Найдите ковариацию между величиной «число, выпавшее при первом броске» и величиной «наибольшее из выпавших очков».
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи нам необходимо найти ковариацию двух случайных величин: X — результат первого броска и Y — максимальный результат из двух бросков. Формула для вычисления ковариации имеет вид: Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y] где E[•] обозначает математическое ожидание.
Шаг 1. Определение пространства элементарных исходов
При бросании игрального кубика дважды всего существует 6×6=36 равновероятных исходов. Каждый исход можно представить как пару (x1,x2), где x1 — выпавшее число при первом броске, а x2 — при втором. Случайная величина X равна первому элементу пары: X=x1. Случайная величина Y равна максимуму из двух чисел: Y=max(x1,x2).
Шаг 2. Вычисление математического ожидания E[X]
Величина X принимает значения от 1 до 6 с одинаковой вероятностью 1/6. Математическое ожидание равномерного распределения на множестве {1,2,3,4,5,6} вычисляется по формуле среднего арифметического:
E[X]=1+2+3+4+5+6/6=21/6=3,5Шаг 3. Вычисление математического ожидания E[Y]
Найдем распределение величины Y=max(X1,X2). Вероятность того, что максимум равен k, равна разности вероятностей того, что оба числа не больше k, и того, что оба числа не больше k-1: P(Y=k)=P(X1≤k,X2≤k)-P(X1≤k-1,X2≤k-1)=(k/6)2-(k-1/6)2=2k-1/36 Вычислим E[Y]:
E[Y]=∑6k=1k·P(Y=k)=∑6k=1k·2k-1/36=1/36∑6k=1(2k2-k) Подставим значения суммы квадратов ∑6k=1k2=91 и сумму первых шести натуральных чисел ∑6k=1k=21: E[Y]=1/36(2·91-21)=182-21/36=161/36≈4,472Шаг 4. Вычисление математического ожидания произведения E[XY]
Нам нужно найти среднее значение произведения X·Y=x1·max(x1,x2) по всем 36 исходам. Разобьем расчет на два случая для фиксированного x1: 1. Если x2≤x1, то Y=x1, и произведение равно x21. Таких значений x2 ровно x1 штук (1,2,…,x1). 2. Если x2>x1, то Y=x2, и произведение равно x1x2. Таких значений x2 ровно 6-x1 штук (x1+1,…,6).
Сумма произведений для фиксированного x1 равна: Sx1=x1·x1+∑6j=x1+1x1j=x21+x1∑6j=x1+1j Используем формулу суммы арифметической прогрессии или просто посчитаем для каждого x1 от 1 до 6 общую сумму Stotal=∑6x1=1Sx1.
| x1 | Часть 1: x2≤x1 (сумма x21) | Часть 2: x2>x1 (сумма x1x2) | Итого Sx1 |
|---|---|---|---|
| 1 | 12=1 | 1(2+3+4+5+6)=20 | 21 |
| 2 | 2·22=8 (два раза по 4? Нет, сумма x1·x1 берется один раз для каждого подходящего x2. Для x1=2: x2∈{1,2}. Произведения: 2·2=4,2·2=4. Сумма 8.) | 2(3+4+5+6)=36 | 44 |
| 3 | 3·32=27 (x2∈{1,2,3}, произв. 9,9,9) | 3(4+5+6)=45 | 72 |
| 4 | 4·42=64 (x2∈{1..4}, произв. 16) | 4(5+6)=44 | 108 |
| 5 | 5·52=125 (x2∈{1..5}, произв. 25) | 5(6)=30 | 155 |
| 6 | 6·62=216 (x2∈{1..6}, произв. 36) | 0 | 216 |
Общая сумма всех произведений X·Y по всем исходам: Stotal=21+44+72+108+155+216=616 Тогда математическое ожидание: E[XY]=Stotal/36=616/36=154/9≈17,111
Шаг 5. Вычисление ковариации
Подставим найденные значения в формулу ковариации: Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y] Cov(X,Y)=154/9-(7/2·161/36) Приведем к общему знаменателю. Знаменатель 36 подходит для второго слагаемого, но первое нужно домножить на 4: 154/9=154·4/36=616/36 Второе слагаемое: 7·161/2·36=1127/72 Перепишем первое слагаемое со знаменателем 72: 616/36=1232/72 Теперь вычтем: Cov(X,Y)=1232-1127/72=105/72 Сократим дробь на 3: 105/72=35/24 Переведем в десятичную дробь: 35/24≈1,45833... Округляя до трех знаков после запятой, получаем 1,458.
1,458
Ковариация положительна, так как чем больше выпадет очков при первом броске, тем выше вероятность того, что это же число будет максимумом (или близким к нему), то есть величины положительно коррелированы.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 523 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 523?
Краткий ответ: 1,458.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.