10–11 классы Свойства ковариации § 55. Свойства ковариации

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 520: Свойства ковариации

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Вера Лапина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 519 521 →

Условие

Игральный кубик бросают n раз. Пусть X₁ — число очков при первом броске, а X — среднее арифметическое выпавших очков. Найдите ковариацию cov(X_1,X).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся свойствами ковариации и определением случайной величины X. Нам нужно найти cov(X_1,X), где X — среднее арифметическое очков при n бросках кубика.

Шаг 1. Представление случайной величины X

Пусть X_i — число очков при i-м броске (i=1$,2,$n/3). Тогда среднее арифметическое можно записать как сумму всех исходов, деленную на их количество:

X=1/n(X₁+X₂+/+X_n)

Нам требуется вычислить ковариацию между первым броском X₁ и этим средним значением X:

cov(X_1,X)=cov(X_1,1/n(/))

Шаг 2. Использование линейности ковариации

Воспользуемся свойством линейности ковариации по второму аргументу: cov(A,cB)=ccov(A,B) и cov(A,B+C)=cov(A,B)+cov(A,C). Вынесем константу 1/n за знак ковариации и раскроем скобки:

cov(X_1,X)=1/ncov(X_1,X₁+X₂+/+X_n) cov(X_1,X)=1/n[cov(X_1,X₁)+cov(X_1,X₂)+/+cov(X_1,X_n)]

Шаг 3. Анализ слагаемых

Рассмотрим каждое слагаемое в полученной сумме отдельно:

Первое слагаемое: cov(X_1,X₁). По определению, ковариация переменной с самой собой равна её дисперсии: cov(X_1,X₁)=D(X₁).
Остальные слагаемые: cov(X_1,X_k) для k>1. Так как броски кубика независимы друг от друга, то любые две различные переменные X₁ и X_k не связаны статистически. Ковариация независимых величин равна нулю: cov(X_1,X_k)=0.

Таким образом, из всей суммы остается только первое слагаемое:

cov(X_1,X)=1/nD(X₁)

Шаг 4. Вычисление дисперсии одного броска D(X₁)

Случайная величина X₁ принимает значения 1,2,3,4,5,6 с одинаковой вероятностью p=1/6. Найдем математическое ожидание M(X₁) и дисперсию D(X₁).

Математическое ожидание:

M(X₁)=1+2+3+4+5+6/6=21/6=3,5

Дисперсия вычисляется по формуле D(X)=M(X²)-(M(X))². Сначала найдем M(X21):

M(X21)=1²+2²+3²+4²+5²+6²/6=1+4+9+16+25+36/6=91/6

Теперь найдем дисперсию:

D(X₁)=91/6-(3,5)²=91/6-49/4

Приведем к общему знаменателю 12:

D(X₁)=182/12-147/12=35/12

Шаг 5. Итоговый расчет

Подставим найденное значение дисперсии в формулу из Шага 3:

cov(X_1,X)=1/n35/12=35/12n

Ответ

35/12n

Использованы свойства ковариации: линейность и равенство нулю для независимых величин. Дисперсия игрального кубика равна 35/12.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 520 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 520?

Краткий ответ: 3512n.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.