ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 517: Свойства ковариации
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Илья Морозов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите свойство распределительности ковариации по первому аргументу: cov(X,Y+Z)=cov(X,Y)+cov(X,Z).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства свойства распределительности ковариации воспользуемся определением ковариации через математическое ожидание. Нам нужно показать, что cov(X,Y+Z)=cov(X,Y)+cov(X,Z).
Шаг 1. Запишем определение ковариации
По определению, ковариация двух случайных величин A и B равна:
cov(A,B)=E[AB]-E[A]E[B]Применим это определение к левой части доказываемого равенства, где первой величиной является X, а второй — сумма Y+Z:
cov(X,Y+Z)=E[X(Y+Z)]-E[X]E[Y+Z]Шаг 2. Используем линейность математического ожидания
Математическое ожидание обладает свойством линейности: E[U+V]=E[U]+E[V] и E[cU]=cE[U]. Также для произведения раскроем скобки внутри математического ожидания:
1) Рассмотрим первое слагаемое E[X(Y+Z)]. Раскроем скобки под знаком ожидания:
E[X(Y+Z)]=E[XY+XZ]В силу аддитивности математического ожидания:
E[XY+XZ]=E[XY]+E[XZ]2) Рассмотрим второе слагаемое E[X]E[Y+Z]. В силу аддитивности математического ожидания для суммы Y+Z:
E[Y+Z]=E[Y]+E[Z]Тогда произведение константы E[X] на эту сумму равно:
E[X](E[Y]+E[Z])=E[X]E[Y]+E[X]E[Z]Шаг 3. Подставим преобразованные выражения и перегруппируем
Подставим результаты из Шага 2 в формулу из Шага 1:
cov(X,Y+Z)=(E[XY]+E[XZ])-(E[X]E[Y]+E[X]E[Z])Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй группой:
cov(X,Y+Z)=E[XY]+E[XZ]-E[X]E[Y]-E[X]E[Z]Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить определения ковариаций cov(X,Y) и cov(X,Z):
cov(X,Y+Z)=(E[XY]-E[X]E[Y])+(E[XZ]-E[X]E[Z])Шаг 4. Сделаем вывод
Выражение в первых скобках (E[XY]-E[X]E[Y]) по определению есть cov(X,Y). Выражение во вторых скобках (E[XZ]-E[X]E[Z]) по определению есть cov(X,Z).
Таким образом, мы получили:
cov(X,Y+Z)=cov(X,Y)+cov(X,Z)Что и требовалось доказать.
Доказательство завершено: cov(X,Y+Z)=cov(X,Y)+cov(X,Z).
Решение опирается на базовые свойства математического ожидания (линейность). Важно аккуратно раскрыть скобки при вычитании произведений ожиданий.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 517 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 517?
Краткий ответ: Доказательство завершено: cov(X, Y + Z) = cov(X, Y) + cov(X, Z).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.