10–11 классы Свойства ковариации § 55. Свойства ковариации

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 516: Свойства ковариации

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Кирилл Панов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 515 517 →

Условие

Случайные величины X и Y независимы, их дисперсии равны DX=3, DY=2. Найдите ковариации

а) X-Y и Y

б) X-3Y и 2X

в) X-Y и X+Y

г) X+Y+2 и X+Y.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся свойствами ковариации. Так как случайные величины X и Y независимы, их ковариация равна нулю: Cov(X,Y)=0. Также известно, что дисперсии равны DX=3 и DY=2, а значит, Cov(X,X)=DX=3 и Cov(Y,Y)=DY=2.

Шаг 1. Пункт а) Найти Cov(X-Y,Y)

Используем линейность ковариации по первому аргументу:

Cov(X-Y,Y)=Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)

Подставим известные значения (Cov(X,Y)=0 и Cov(Y,Y)=DY=2):

Cov(X-Y,Y)=0-2=-2

Шаг 2. Пункт б) Найти Cov(X-3Y,2X)

Вынесем постоянный множитель из второго аргумента и применим линейность по первому:

Cov(X-3Y,2X)=2·Cov(X-3Y,X)=2(Cov(X,X)-3Cov(Y,X))

Так как X и Y независимы, Cov(Y,X)=0. А Cov(X,X)=DX=3. Подставляем:

2(3-3·0)=2·3=6

Шаг 3. Пункт в) Найти Cov(X-Y,X+Y)

Раскроем скобки, используя свойство билинейности ковариации:

Cov(X-Y,X+Y)=Cov(X,X)+Cov(X,Y)-Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)

Учитывая, что Cov(X,Y)=Cov(Y,X)=0, получаем разность дисперсий:

DX-DY=3-2=1

Шаг 4. Пункт г) Найти Cov(X+Y+2,X+Y)

Ковариация не меняется при добавлении константы к одной из величин (так как Cov(Z+c,W)=Cov(Z,W)). Поэтому:

Cov(X+Y+2,X+Y)=Cov(X+Y,X+Y)

Ковариация величины с самой собой равна её дисперсии. Найдем дисперсию суммы независимых величин:

D(X+Y)=DX+DY=3+2=5

Следовательно, искомая ковариация равна 5.

Ответ

а) -2

б) 6

в) 1

г) 5

В решении использованы основные свойства ковариации: линейность, симметричность, равенство нулю для независимых величин и инвариантность к сдвигу на константу.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 516 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 516?

Краткий ответ: а) -2 б) 6 в) 1 г) 5.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.