10–11 классы Свойства ковариации § 55. Свойства ковариации

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 519: Свойства ковариации

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Илья Морозов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 518 520 →

Условие

Игральный кубик бросают несколько раз. Пусть X₁ — число очков при первом броске, а X — сумма очков во всех бросках. Найдите ковариацию cov(X_1,X), если кубик бросали

а) два раза

б) три раза

в) много раз (предел).

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся свойствами ковариации. Нам даны две случайные величины: X₁ — результат первого броска и X — сумма очков во всех бросках. Обозначим результаты последующих бросков как X_2,X_3,…. Тогда X=X₁+X₂+…+X_n, где n — количество бросков.

Шаг 1. Вывод общей формулы для ковариации

Используем линейность ковариации по второму аргументу:

cov(X_1,X)=cov(X_1,X₁+X₂+…+X_n)=cov(X_1,X₁)+∑ni=2cov(X_1,X_i)

Так как броски кубика независимы, то для любого i>1 ковариация cov(X_1,X_i)=0. Остается только первое слагаемое:

cov(X_1,X₁)=D(X₁)

То есть искомая ковариация равна дисперсии одного броска игрального кубика. Это значение не зависит от количества бросков n (при n≥1).

Шаг 2. Вычисление дисперсии одного броска D(X₁)

Найдем математическое ожидание M(X₁) и второй начальный момент M(X21) для правильного шестигранного кубика.

Возможные значения X₁: 1,2,3,4,5,6. Вероятность каждого исхода p=1/6.

Математическое ожидание:

M(X₁)=1+2+3+4+5+6/6=21/6=3,5

Второй начальный момент:

M(X21)=1²+2²+3²+4²+5²+6²/6=1+4+9+16+25+36/6=91/6

Дисперсия вычисляется по формуле D(X₁)=M(X21)-(M(X₁))²:

D(X₁)=91/6-(3,5)²=91/6-(7/2)²=91/6-49/4

Приведем к общему знаменателю 12:

D(X₁)=182/12-147/12=35/12

Шаг 3. Ответы для пунктов а), б), в)

Как мы выяснили на Шаге 1, cov(X_1,X)=D(X₁)=35/12 при любом количестве бросков n≥1.

а) Два раза (n=2): cov(X_1,X)=35/12.
б) Три раза (n=3): cov(X_1,X)=35/12.
в) Много раз (предел): Значение ковариации постоянно и равно 35/12, поэтому предел также равен 35/12.

Ответ

а) 35/12

б) 35/12

в) 35/12

Ключевое свойство: ковариация переменной с суммой независимых переменных сводится к ковариации переменной с самой собой (дисперсии), так как ковариации с другими независимыми слагаемыми равны нулю. Дисперсия одного броска кубика равна 35/12.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 519 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 519?

Краткий ответ: а) 3512 б) 3512 в) 3512.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.