ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 518: Свойства ковариации
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Ольга Кузнецова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите свойство однородности ковариации: cov(aX,Y)=cov(X,aY)=a·cov(X,Y).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче требуется доказать одно из фундаментальных свойств ковариации — свойство однородности (или линейности по одному аргументу). Нам нужно показать, что вынесение константы a за знак ковариации не меняет её значения с точностью до множителя a. Доказательство будем проводить последовательно для двух равенств: сначала для cov(aX,Y), затем для cov(X,aY).
Шаг 1. Вспомним определение ковариации
Ковариация двух случайных величин X и Y определяется через математическое ожидание их произведений отклонений от средних значений:
cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]Также существует эквивалентная формула, удобная для вычислений:
cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]Мы воспользуемся первым определением, так как оно нагляднее демонстрирует свойства линейности математического ожидания.
Шаг 2. Докажем равенство cov(aX,Y)=acov(X,Y)
Запишем выражение для ковариации величин aX и Y, подставив aX вместо первой переменной в определение:
cov(aX,Y)=E[(aX-E[aX])(Y-E[Y])]Используем свойство линейности математического ожидания: E[aX]=aE[X]. Подставим это в скобки:
cov(aX,Y)=E[(aX-aE[X])(Y-E[Y])]Вынесем общий множитель a из первой скобки:
cov(aX,Y)=E[a(X-E[X])(Y-E[Y])]Теперь используем ещё одно свойство математического ожидания: константу можно выносить за знак E, то есть E[aZ]=aE[Z] для любой случайной величины Z. В нашем случае Z=(X-E[X])(Y-E[Y]):
cov(aX,Y)=aE[(X-E[X])(Y-E[Y])]Выражение в квадратных скобках после умножения на a является в точности определением cov(X,Y). Следовательно:
cov(aX,Y)=acov(X,Y)Шаг 3. Докажем равенство cov(X,aY)=acov(X,Y)
Аналогично запишем определение для ковариации X и aY:
cov(X,aY)=E[(X-E[X])(aY-E[aY])]Применим линейность математического ожидания ко второй переменной: E[aY]=aE[Y]:
cov(X,aY)=E[(X-E[X])(aY-aE[Y])]Вынесем множитель a из второй скобки:
cov(X,aY)=E[(X-E[X])a(Y-E[Y])]Перенесём константу a перед знаком математического ожидания:
cov(X,aY)=aE[(X-E[X])(Y-E[Y])]Снова узнаём в оставшемся выражении определение ковариации:
cov(X,aY)=acov(X,Y)Шаг 4. Объединение результатов и вывод
Из шага 2 мы получили, что cov(aX,Y)=acov(X,Y). Из шага 3 мы получили, что cov(X,aY)=acov(X,Y). Поскольку правые части этих равенств идентичны, равны и левые части. Таким образом, мы доказали требуемое утверждение:
cov(aX,Y)=cov(X,aY)=acov(X,Y)Проверка: Свойство согласуется с интуицией: если масштабировать одну из переменных в a раз, то средняя совместная изменчивость (ковариация) также изменится в a раз. Если a=0, ковариация становится нулевой, что верно, так как постоянная величина не имеет корреляции ни с чем.
Доказано:
cov(aX,Y)=acov(X,Y)
cov(X,aY)=acov(X,Y)
Следовательно, cov(aX,Y)=cov(X,aY)=acov(X,Y).
Решение построено строго на определении ковариации через математическое ожидание и свойствах линейности матожидания (E[cX]=cE[X] и E[cZ]=cE[Z]). Это стандартный академический подход для школьного курса вероятностей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 518 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 518?
Краткий ответ: Доказано: cov(aX, Y) = a cov(X, Y) cov(X, aY) = a cov(X, Y) Следовательно, cov(aX, Y) = cov(X, aY) = a cov(X, Y).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.