ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 522: Свойства ковариации

Обозначим за I_k индикатор успеха в k-м испытании (k=1$,2,/,n$). Тогда $$I_k=1,~если~в k-м~испытании~успех,~и I_k=0 иначе. По условию, I=I₁. Общее число успехов X можно представить как сумму всех индикаторов: X=I₁+I₂+/+I_n Таким образом, нам нужно вычислить cov(I₁+ $ I_2 + \frac{}+I_n,I₁)$.</p></details><detailsclass="gdz-step"open><summary>Шаг 2. Использование линейности ковариации</summary><p>Ковариация обладает свойством линейности по первому аргументу:$cov(A+B,C)=cov(A,C)+cov(B,C)$. Применим это свойство к нашей сумме:\text{cov}(X, I) = \text{cov}\bigg( \frac{}{}_{k=1}^{n} I_k, I_1\bigg) = \frac{}{}_{k=1}^{n} \text{cov}(I_k, I_1)Разложим эту сумму на два случая: когда $k=1$ и когда $k>1$.</p></details><detailsclass="gdz-step"open><summary>Шаг 3. Вычисление слагаемых суммы</summary><p>Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.<strong>Случай 1:$k=1$.</strong> Здесь мы имеем дело с ковариацией переменной с самой собой:$cov(I_1,I₁)$. По определению, ковариация переменной с самой собой равна её дисперсии:\text{cov}(I_1, I_1) = D(I_1)Индикатор $I₁$ принимает значения 1(с вероятностью $p$) и 0(с вероятностью $1-p$). Математическое ожидание $E[I₁]=p$. Дисперсия индикатора Бернулли равна:D(I_1) = p(1-p)<strong>Случай 2:$k>1$.</strong> В этом случае $I_k$ и $I₁$ соответствуют разным испытаниям в серии независимых испытаний Бернулли. Поскольку испытания независимы, соответствующие им индикаторные случайные величины также независимы. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю:\text{cov}(I_k, I_1) = 0, \text{~при~} k \neq 1</p></details><detailsclass="gdz-step"open><summary>Шаг 4. Итоговый подсчёт</summary><p>Подставим полученные значения обратно в сумму из Шага 2:\text{cov}(X, I) = \text{cov}(I_1, I_1) + \frac{}{}_{k=2}^{n} \text{cov}(I_k, I_1)$$ $$\text{cov}(X, I) = p(1-p) + \frac{}{}_{k=2}^{n} 0$$ $$\text{cov}(X, I) = p(1-p)$</p></details><p><strong>Ответ:</strong>p(1-p)$