ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 521: Свойства ковариации
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Татьяна Белова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Имеется выборка независимых случайных величин X1,X2,…,Xn с математическим ожиданием m и дисперсией d. Пусть X — среднее арифметическое этой выборки. Найдите ковариацию cov(Xk,X), где k — номер одного из наблюдений.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся определением среднего арифметического и свойствами ковариации. Нам нужно найти cov(Xk,X), где Xk — одно из наблюдений выборки, а X — среднее по всей выборке.
Шаг 1. Запишем выражение для среднего арифметического
Среднее арифметическое выборки определяется как сумма всех наблюдений, деленная на их количество:
X=1/n∑ni=1Xi=1/n(X1+X2+…+Xn)Шаг 2. Подставим X в формулу ковариации
Используем линейность ковариации по второму аргументу. Поскольку 1/n — константа, её можно вынести за знак ковариации:
cov(Xk,X)=cov(Xk,1/n∑ni=1Xi)=1/ncov(Xk,∑ni=1Xi)Далее используем свойство аддитивности ковариации (cov(A,B+C)=cov(A,B)+cov(A,C)):
cov(Xk,X)=1/n∑ni=1cov(Xk,Xi)Шаг 3. Учтем независимость случайных величин
По условию задачи величины X1,X2,…,Xn являются независимыми . Это означает, что для любых различных индексов k≠i ковариация равна нулю:
cov(Xk,Xi)=0, если k≠iВ сумме 1/n∑ni=1cov(Xk,Xi) все слагаемые обращаются в ноль, кроме одного случая, когда индекс суммирования i совпадает с фиксированным номером наблюдения k. То есть единственное ненулевое слагаемое соответствует i=k:
cov(Xk,Xk)=D(Xk)Так как все величины имеют одинаковую дисперсию d, то D(Xk)=d.
Шаг 4. Вычислим итоговое значение
Подставим найденное значение в нашу формулу:
cov(Xk,X)=1/n·d=d/nОтвет: d/n
d/n
Задача проверяет понимание свойств ковариации: линейности и того факта, что ковариация независимых величин равна нулю. Ключевой момент — осознание того, что в сумме ковариаций Xk с каждым элементом выборки выживает только член cov(Xk,Xk), который равен дисперсии.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 521 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 521?
Краткий ответ: d/n.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.