10–11 классы Свойства ковариации § 55. Свойства ковариации

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 528: Свойства ковариации

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Надежда Фомина, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 527 529 →

Условие

Игральный кубик бросают n раз. Пусть X₁ — число очков при первом броске, а X — среднее арифметическое выпавших очков. Найти ковариацию этих величин.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи нам необходимо найти ковариацию между случайной величиной X₁ (результат первого броска) и случайной величиной X (среднее арифметическое всех n бросков). Воспользуемся свойствами ковариации, в частности линейностью по второму аргументу.

Шаг 1. Представление среднего арифметического

Обозначим результаты каждого из n бросков как X_1,X_2,…,X_n. Тогда среднее арифметическое X можно записать в виде суммы:

X=1/n∑ni=1X_i=1/n(X₁+X₂+…+X_n)

Нам нужно вычислить Cov(X_1,X).

Шаг 2. Применение свойств ковариации

Используем свойство линейности ковариации: Cov(A,B+C)=Cov(A,B)+Cov(A,C) и Cov(A,cB)=c·Cov(A,B), где c — константа.

Cov(X_1,X)=Cov(X_1,1/n∑ni=1X_i)=1/n∑ni=1Cov(X_1,X_i)

Разложим сумму на два случая: когда i=1 и когда i>1.

Если i=1, то Cov(X_1,X₁)=D(X₁) (дисперсия величины).
Если i>1, то X₁ и X_i — независимые случайные величины (броски кубика не зависят друг от друга). Для независимых величин ковариация равна нулю: Cov(X_1,X_i)=0.

Таким образом, в сумме останется только первое слагаемое:

Cov(X_1,X)=1/n(Cov(X_1,X₁)+Cov(X_1,X₂)+…+Cov(X_1,X_n)₀)=1/nD(X₁)

Шаг 3. Вычисление дисперсии одного броска

Найдем дисперсию D(X₁) для одного броска игрального кубика. Возможные значения X₁: 1,2,3,4,5,6, каждое с вероятностью p=1/6.

Математическое ожидание:

E(X₁)=1+2+3+4+5+6/6=21/6=3,5

Математическое ожидание квадрата:

E(X21)=1²+2²+3²+4²+5²+6²/6=1+4+9+16+25+36/6=91/6

Дисперсия:

D(X₁)=E(X21)-(E(X₁))²=91/6-(3,5)²=91/6-12,25

Переведем 12,25 в дробь: 12,25=49/4. Приведем к общему знаменателю 12:

D(X₁)=182/12-147/12=35/12

Шаг 4. Итоговый расчет ковариации

Подставим найденную дисперсию в формулу из Шага 2:

Cov(X_1,X)=1/n·35/12=35/12n

Примечание к ключу:
В предоставленном ключе ответа указано значение 1/n. Это значение соответствует коэффициенту корреляции , если бы мы рассматривали нормированные величины или имели дело с другим распределением, либо это может быть опечатка в источнике ключа. Однако строгое математическое вычисление ковариации для стандартного игрального кубика дает результат 35/12n. Если задача предполагает использование упрощенной модели или других условий, не указанных явно, ответ может отличаться, но для классической постановки «игральный кубик» верным является вывод выше.

Проверка размерности и логики: Ковариация должна уменьшаться при увеличении числа бросков n, так как влияние одного конкретного броска на общее среднее становится меньше. Формула 35/12n удовлетворяет этому условию.

Ответ

35/12n

Ключ в учебнике (1/n) вероятно содержит ошибку или относится к коэффициенту корреляции при специфических условиях, не совпадающих со стандартной задачей о ковариации среднего и отдельного наблюдения для кубика. Стандартное решение через свойства ковариации и дисперсию кубика (35/12) дает ответ 35/(12n).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 528 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 528?

Краткий ответ: 3512n.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.