ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 529: Свойства ковариации
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Татьяна Белова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Из конечной генеральной совокупности получена выборка независимых одинаково распределённых случайных величин X1,X2,…,Xn.
а) Найти r(Xk,X), где k — номер наблюдения.
б) Объяснить, зачем требуется условие конечности генеральной совокупности и каким другим условием его можно заменить.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче мы рассматриваем выборку из конечной генеральной совокупности. Нам нужно найти коэффициент корреляции между отдельным наблюдением Xk и средним арифметическим всей выборки X, а также проанализировать условия задачи.
Шаг 1. Определение случайных величин и их характеристик
Пусть X1,X2,…,Xn — независимые одинаково распределённые случайные величины. Обозначим математическое ожидание каждой величины через M(Xi)=m, а дисперсию через D(Xi)=σ2. Так как величины одинаково распределены, эти параметры одинаковы для всех i=1,…,n.
Среднее арифметическое выборки определяется формулой:
X=1/nΣni=1XiНайдём математическое ожидание и дисперсию X:
M(X)=M(1/nΣni=1Xi)=1/nΣni=1M(Xi)=1/n·n·m=m D(X)=D(1/nΣni=1Xi)=1/n2Σni=1D(Xi)=1/n2·n·σ2=σ2/nЗдесь использовано свойство дисперсии суммы независимых величин: дисперсия суммы равна сумме дисперсий.
Шаг 2. Вычисление ковариации Cov(Xk,X)
Ковариация двух случайных величин X и Y вычисляется по формуле Cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y) или с использованием линейности: Cov(X,ΣaiYi)=ΣaiCov(X,Yi).
Подставим выражение для X:
Cov(Xk,X)=Cov(Xk,1/nΣni=1Xi)=1/nΣni=1Cov(Xk,Xi)Рассмотрим слагаемые суммы Cov(Xk,Xi):
- Если i≠k, то Xk и Xi — независимые случайные величины. Для независимых величин ковариация равна нулю: Cov(Xk,Xi)=0.
- Если i=k, то Cov(Xk,Xk)=D(Xk)=σ2 (ковариация величины с самой собой равна её дисперсии).
Таким образом, в сумме остаётся только одно ненулевое слагаемое при i=k:
Cov(Xk,X)=1/n·σ2=σ2/nШаг 3. Нахождение коэффициента корреляции r(Xk,X)
Коэффициент корреляции Пирсона определяется как отношение ковариации к произведению стандартных отклонений:
r(Xk,X)=Cov(Xk,X)/σ(Xk)·σ(X)Мы знаем:
- Cov(Xk,X)=σ2/n
- σ(Xk)=√D(Xk)=√σ2=σ
- σ(X)=√D(X)=√σ2/n=σ/√n
Подставим значения в формулу:
r(Xk,X)=σ2/n/σ·σ/√n=σ2/n/σ2/√n=σ2/n·√n/σ2=√n/n=1/√nОтвет на пункт а): r(Xk,X)=1/√n.
Шаг 4. Анализ условия конечности генеральной совокупности (пункт б)
Условие «конечная генеральная совокупность» обычно важно при рассмотрении выборок без возвращения . Если выборка берётся без возвращения из конечной совокупности, наблюдения Xi становятся зависимыми (так как результат одного выбора влияет на вероятности следующего). В этом случае дисперсия среднего X содержит множитель поправки на конечность совокупности (N-n)/(N-1), и ковариации между различными Xi не равны нулю.
Однако в условии задачи явно сказано, что получена выборка независимых одинаково распределённых случайных величин. Это ключевое слово. Независимость наблюдений гарантируется, если выборка производится с возвращением (или когда размер выборки n пренебрежимо мал по сравнению с размером совокупности N, но строго говоря, именно «с возвращением» обеспечивает независимость).
Таким образом, условие конечности генеральной совокупности в данном контексте является избыточным или даже потенциально противоречащим слову «независимые», если подразумевается классическая схема выборки без возвращения. Чтобы обеспечить независимость Xi, необходимо заменить условие «конечная генеральная совокупность» (в сочетании с молчаливым допущением о выборке без возвращения) на условие:
- Выборка производится с возвращением ; либо
- Генеральная совокупность бесконечна (что делает понятие «возвращение/без возвращения» несущественным для вероятностных свойств, так как состав совокупности не меняется).
Если же мы строго следуем тексту «выборка независимых... величин», то нам не важна конечность совокупности, важна лишь возможность считать Xi независимыми. Поэтому условие конечности можно заменить на требование бесконечности генеральной совокупности или отбора с возвращением , чтобы гарантировать независимость наблюдений, которая была использована нами при выводе формулы Cov(Xk,Xi)=0 при k≠i.
а) 1/n
б) Условие конечности важно при выборке без возвращения, где наблюдения зависимы. Поскольку в задаче даны независимые величины, это условие можно заменить на «выборка с возвращением» или «генеральная совокупность бесконечна».
При решении пункта а) использованы свойства ковариации и дисперсии для независимых величин. Ключевой момент — понимание того, что Cov(Xk,Xi)=0 при k≠i благодаря независимости. В пункте б) анализируется связь между методом отбора (с возвращением/без возвращения), конечностью совокупности и независимостью наблюдений.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 529 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 529?
Краткий ответ: а) 1√n б) Условие конечности важно при выборке без возвращения, где наблюдения зависимы. Поскольку в задаче даны независимые величины, это условие можно заменить на «выборка с возвращением» или «генеральная совокупность бесконечна».
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 55. Свойства ковариации.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.