10–11 классы Геометрическое распределение и биномиальное распределение § 30. Геометрическое распределение и биномиальное распределение

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 6

Тема: Геометрическое распределение и биномиальное распределение

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Юлия Громова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 5 7 →

Условие

В серии из 10 испытаний Бернулли (p=0.4) сравните вероятность ровно 4 успехов и ровно 8 успехов.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи воспользуемся формулой биномиального распределения (формула Бернулли). Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие наступит ровно k раз, вычисляется по формуле:

P_n(k)=Cknp^k(1-p)^n-k

где Ckn=n!/k!(n-k)! — число сочетаний из n по k, p — вероятность успеха в одном испытании, а q=1-p — вероятность неудачи.

Шаг 1. Вычислим вероятность ровно 4 успехов (k=4)

Дано: n=10, p=0.4, тогда q=1-0.4=0.6. Ищем P₁₀(4).

Сначала найдем число сочетаний C410:

C410=10!/4!·6!=10·9·8·7/4·3·2·1=10·3·7=210

Теперь подставим значения в формулу вероятности:

P₁₀(4)=210·(0.4)⁴·(0.6)⁶

Вычислим степени:

(0.4)⁴=0.0256 (0.6)⁶=0.046656

Перемножим полученные числа:

P₁₀(4)=210·0.0256·0.046656≈210·0.0011943936≈0.250822656

Округлим до четырех знаков после запятой: P₁₀(4)≈0.2508.

Шаг 2. Вычислим вероятность ровно 8 успехов (k=8)

Ищем P₁₀(8) при тех же условиях (n=10,p=0.4,q=0.6).

Найдем число сочетаний C810. Используя свойство симметрии Ckn=Cn-kn, имеем:

C810=C210=10·9/2·1=45

Подставим значения в формулу вероятности:

P₁₀(8)=45·(0.4)⁸·(0.6)²

Вычислим степени:

(0.4)⁸=0.00065536 (0.6)²=0.36

Перемножим полученные числа:

P₁₀(8)=45·0.00065536·0.36=45·0.0002359296≈0.010616832

Округлим до четырех знаков после запятой: P₁₀(8)≈0.0106.

Шаг 3. Сравнение результатов и вывод

Сравним полученные вероятности:

Вероятность ровно 4 успехов: P₁₀(4)≈0.2508
Вероятность ровно 8 успехов: P₁₀(8)≈0.0106

Так как 0.2508>0.0106, то вероятность получить ровно 4 успеха значительно выше, чем вероятность получить ровно 8 успехов.

Проверка логики: Математическое ожидание числа успехов равно M(X)=n·p=10·0.4=4. В биномиальном распределении максимальная вероятность достигается около математического ожидания. Число 4 совпадает с матожиданием, поэтому вероятность для k=4 должна быть высокой. Число 8 находится далеко от центра распределения (справа), поэтому его вероятность должна быть низкой. Результаты расчетов подтверждают эту логику.

Ответ

а) P(4 успеха) ≈ 0,2508

б) P(8 успехов) ≈ 0,0106

в) Вероятность ровно 4 успехов больше вероятности ровно 8 успехов.

В условии задачи даны параметры биномиального распределения. Ключ ответа в запросе содержит данные про численность населения городов, что явно относится к другой задаче (статистика/среднее/медиана) и не имеет отношения к текущему условию о вероятностях. Поэтому ключ игнорируется, решение строится строго на данных условия.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 6 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 6?

Краткий ответ: а) P(4 успеха) ≈ 0,2508 б) P(8 успехов) ≈ 0,0106 в) Вероятность ровно 4 успехов больше вероятности ровно 8 успехов.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 30. Геометрическое распределение и биномиальное распределение.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.