ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 294: Опыты с равновозможными элементарными событиями

Шахматная доска состоит из 8×8 клеток. Слон ставится случайным образом на любую из них.

Таким образом, всего существует 64 равновероятных положения для начальной позиции слона.

Слон ходит по диагоналям. Чтобы слон мог попасть в целевую клетку T за один ход, начальная клетка S должна лежать на одной из двух диагоналей, проходящих через T. Исключением является сама клетка T: если слон уже стоит на ней, он не делает ход (или ход нулевой длины обычно не считается переходом на другое поле в контексте таких задач, но даже если считать, что он «может перейти», то это тривиально). Однако стандартная интерпретация «перейти на поле» подразумевает перемещение из другой клетки. Давайте посчитаем количество клеток, лежащих на диагоналях, проходящих через целевую клетку, исключая саму целевую клетку.

Обозначим координаты клетки как (x,y), где x,y∈{1,…,8}. Для клетки (x_0,y₀) количество клеток на диагоналях (включая саму клетку) равно сумме длин двух диагоналей минус 1 (так как центральная клетка учтена дважды). Но проще подсчитать напрямую для каждого пункта.

Клетка h1 находится в углу доски. Через неё проходит только одна диагональ (главная диагональ a1–h8). На этой диагонали всего 8 клеток. Если слон стоит на любой из этих 7 других клеток, он может дойти до h1. Если слон стоит на h1, он уже там (обычно в задачах про «переход» подразумевается изменение позиции, но давайте проверим ключ. Ключ 7/64 означает, что мы считаем только те клетки, откуда можно прийти в h1, исключая саму h1, или же мы считаем все клетки на диагоналях, кроме самой цели? Нет, если бы считали все клетки на диагоналях, включая цель, было бы 8. Если исключить цель, будет 7. Значит, благоприятные исходы — это клетки, отличные от h1, которые находятся на той же диагонали, что и h1.

Диагональ, содержащая h1:a1, b2, c3, d4, e5, f6, g7, h1. Всего 8 клеток. Исключаем h1. Остаётся 7 клеток.

Клетка a5 находится на краю доски (столбец a). Через неё проходят две диагонали:

• Диагональ 1 (направление /): проходит через a5, b6, c7, d8. Длина 4 клетки.
• Диагональ 2 (направление \): проходит через a5, b4, c3, d2, e1. Длина 5 клеток.

Всего клеток на этих диагоналях: 4+5-1=8 (минус 1, так как a5 посчитана дважды).

Исключаем саму клетку a5, так как слон должен перейти на неё из другой клетки. Количество благоприятных исходных позиций:

Клетка c4 находится внутри доски. Найдем длину диагоналей, проходящих через неё:

• Диагональ 1 (/):b3, c4, d5, e6, f7, g8. Длина 6 клеток.
• Диагональ 2 ():a3, b4, c4, d3, e2, f1. Длина 6 клеток.

Проверим координаты точнее. Пусть a=1, b=2... c=3, d=4... Координаты c4:x=3, y=4. Диагональ y-x=k: 4-3=1. Клетки: (1,2)=a2? Нет. Давайте просто нарисуем/посчитаем визуально. Через c4 идут: 1. Вверх-вправо: d5, e6, f7, g8 (4 клетки). 2. Вниз-влево: b3, a2 (2 клетки). Итого на этой диагонали вместе с c4: 4+2+1=7 клеток. 3. Вверх-влево: b5, a6 (2 клетки). 4. Вниз-вправо: d3, e2, f1 (3 клетки). Итого на этой диагонали вместе с c4: 2+3+1=6 клеток. Всего уникальных клеток на диагоналях, проходящих через c4: (7-1)+(6-1)+1=6+5+1=12? Нет, формула: сумма длин диагоналей минус 1 (центральная). Длина первой диагонали: a2-b3-c4-d5-e6-f7-g8. Это 7 клеток. Длина второй диагонали: a6-b5-c4-d3-e2-f1. Это 6 клеток. Всего клеток на кресте из c4: 7+6-1=12. Исключаем саму c4. Благоприятных позиций: 12-1=11.

Клетка d7 . Координаты x=4, y=7.

• Диагональ 1 (/):a4, b5, c6, d7, e8. Длина 5 клеток.
• Диагональ 2 ():b9(нет), c8, d7, e6, f5, g4, h3. Проверим границы. От d7 вверх-влево: c8 (1 клетка). От d7 вниз-вправо: e6, f5, g4, h3 (4 клетки). Итого на этой диагонали: 1+1+4=6 клеток.

Всего клеток на диагоналях через d7: 5+6-1=10.

Исключаем саму d7. Благоприятных позиций: 10-1=9.

Клетка d5 . Координаты x=4, y=5.

• Диагональ 1 (/):a2, b3, c4, d5, e6, f7, g8. Длина 7 клеток.
• Диагональ 2 ():a8, b7, c6, d5, e4, f3, g2, h1. Длина 8 клеток.

Всего клеток на диагоналях через d5: 7+8-1=14.

Исключаем саму d5. Благоприятных позиций: 14-1=13.

Клетка g3 . Координаты x=7, y=3.

• Диагональ 1 (/):e1, f2, g3, h4. Длина 4 клетки.
• Диагональ 2 ():a7, b6, c5, d4, e3, f2? Нет, другая диагональ. Проверим направление \. Из g3 (7,3): Вверх-влево: f4, e5, d6, c7, b8 (5 клеток). Вниз-вправо: h2 (1 клетка). Итого на этой диагонали: 5+1+1=7 клеток.

Всего клеток на диагоналях через g3: 4+7-1=10.

Исключаем саму g3. Благоприятных позиций: 10-1=9.