ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 64: Медиана

Среднее значение (165 см) может быть сильно искажено выбросами (очень высокими или очень низкими значениями). Например, если в классе есть несколько очень высоких учеников, они «тянут» среднее вверх, и большинство учеников могут иметь рост ниже среднего.

Пример контраргумента: пусть в классе 3 ученика с ростом 100 см и 2 ученика с ростом 262,5 см. Сумма ростов: 3·100+2·262,5=300+525=825 см. Количество учеников: 5. Средний рост: 825/5=165 см. В этом примере только 2 из 5 учеников имеют рост выше 165 см, что составляет 40%, то есть меньше половины.

Ответ: Нет.

По определению медианы, если медиана роста равна 168 см, то при упорядочивании всех учеников по росту, значение 168 см находится в середине ряда. Это означает, что как минимум половина учеников имеет рост, больший или равный 168 см.

Формально: для набора данных медиана M такова, что доля элементов x_i≥M составляет не менее 50%. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Да.

Росты учеников могут принимать любые значения, включая целые числа или дискретные шаги. Можно составить пример, где все ученики либо имеют рост ≤165 см, либо рост ≥168 см, при этом среднее будет 165, а медиана 168.

Пример: Пусть в классе 4 ученика. Росты: 162 см, 168 см, 168 см, 162 см. Отсортированный ряд: 162,162,168,168. Медиана: среднее между вторым и третьим элементом: 162+168/2=165 см. (Здесь медиана не совпадает с условием 168, нужно подобрать другой пример).

Корректный пример: Пусть в классе 3 ученика с ростом 168 см и 1 ученик с ростом 159 см. Отсортированный ряд: 159,168,168,168. Медиана (для четного количества берем среднее двух центральных): 168+168/2=168 см. Средний рост: 159+168+168+168/4=663/4=165,75 см. (Не подходит, нужно ровно 165).

Еще один пример: Пусть в классе 2 ученика с ростом 168 см и 2 ученика с ростом 162 см. Отсортированный ряд: 162,162,168,168. Медиана: 162+168/2=165 см. (Опять медиана не 168).

Давайте построим пример так, чтобы медиана была 168, а среднее 165, и не было чисел в интервале (165;168). Пусть есть группа маленьких и группа больших. Чтобы медиана была 168, хотя бы половина должна быть ≥168. Пусть всего N=4. Росты: a,b,c,d. Если c=d=168, то медиана зависит от b и c. Если b<168, то медиана b+168/2. Чтобы она была 168, нужно b=168. Тогда все четверо 168, среднее 168. Не подходит. Значит, нужно нечетное количество или специфическое распределение. Пусть N=3. Росты: x_1,x_2,x₃. Медиана — это x₂. Значит x₂=168. Тогда x₁≤168 и x₃≥168. Среднее: x₁+168+x₃/3=165⇒x₁+x₃=495-168=327. Мы хотим, чтобы не было учеников с ростом строго между 165 и 168. То есть x₁ должен быть ≤165 или ≥168 (но он первый, значит мал), а x₃≥168. Если мы возьмем x₁=159 (меньше 165), то x₃=327-159=168. Росты: 159,168,168. Медиана: 168. Среднее: 159+168+168/3=495/3=165. Есть ли ученик с ростом >165 и <168? Нет. Есть только 159 и 168. Таким образом, такой ученик не обязателен.

Ответ: Нет.

Медиана — это статистическая характеристика, которая может не совпадать ни с одним из фактических значений в наборе данных, особенно если количество наблюдений чётное. В этом случае медиана вычисляется как среднее арифметическое двух центральных значений.

Пример: Пусть в классе 2 ученика с ростом 167 см и 2 ученика с ростом 169 см. Отсортированный ряд: 167,167,169,169. Медиана: 167+169/2=168 см. Средний рост: 167+167+169+169/4=672/4=168 см. (Нужно среднее 165).

Подберём пример под условия задачи (среднее 165, медиана 168), где нет человека с ростом 168. Пусть N=4. Росты: x_1,x_2,x_3,x₄. Медиана 168⇒x₂+x₃/2=168⇒x₂+x₃=336. Среднее 165⇒x₁+x₂+x₃+x₄=660⇒x₁+x₄=660-336=324. Пусть x₂=167,x₃=169 (сумма 336, медиана 168, никто не равен 168). Пусть x₁=160,x₄=164 (сумма 324). Проверка порядка: 160,167,169,164 — не отсортировано. Отсортируем: 160,164,167,169. Медиана: 164+167/2=165,5. Не подходит. Нам нужно, чтобы центральные элементы давали в среднем 168. Пусть x₂=167,x₃=169. Тогда в отсортированном ряду эти элементы должны быть вторым и третьим. Значит x₁≤167 и x₄≥169. Сумма x₁+x₄=324. Если x₁=167, то x₄=157 (противоречие с порядком). Если x₁=155, то x₄=169. Ряд: 155,167,169,169. Медиана: 167+169/2=168. Среднее: 155+167+169+169/4=660/4=165. В этом наборе ростов 155,167,169,169 нет ученика с ростом ровно 168 см.

Ответ: Нет.