7–9 классы Дерево случайного эксперимента § 48. Дерево случайного эксперимента

ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 18: Дерево случайного эксперимента

Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Татьяна Белова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 17 20 →

Условие

Построить дерево с указанным распределением степеней вершин

а) 4 вершины степени 3 и 6 вершин степени 1

б) 2 вершины степени 4, 2 вершины степени 3 и 8 вершин степени 1.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для построения дерева (графа без циклов) необходимо проверить два условия: сумма степеней вершин должна быть чётной и равна удвоенному числу рёбер (2E), а также дерево с V вершинами должно иметь ровно V-1 рёбер. Если эти условия выполняются, мы можем последовательно соединять вершины.

Шаг 1. Анализ пункта а)

Дано: 4 вершины степени 3 и 6 вершин степени 1.

Найдём общее количество вершин V:

V=4+6=10

В дереве число рёбер E равно V-1, то есть E=9.

Проверим сумму степеней вершин. По лемме о рукопожатиях сумма степеней равна 2E:

∑°(v)=4·3+6·1=12+6=18 2E=2·9=18

Условия выполнены. Построим дерево. Начнём с одной из вершин степени 3 (назовём её A₁). Прикрепим к ней три вершины степени 1 (L_1,L_2,L₃). Теперь у нас есть «остов» из 4 вершин, но нам нужно разместить остальные вершины степени 3 так, чтобы они не создавали циклов и имели нужную степень.

Более простой способ построения для деревьев со степенями 1 и 3: представьте цепочку из вершин степени 3, где каждая внутренняя вершина имеет 2 связи по цепочке и 1 связь с листом, а концевые вершины цепочки имеют 1 связь внутри и 2 связи с листьями? Нет, это сложно считать. Давайте просто соединим вершины степени 3 в путь или звезду, добавляя листья.

Попробуем построить «звезду» из вершин степени 3. Возьмём одну центральную вершину степени 3? Нет, все вершины степени 3 равноправны. Соединим две вершины степени 3 ребром. У каждой осталось по 2 свободных конца. Присоединим к ним ещё две вершины степени 3. Получилась цепочка из 4 вершин степени 3: C₁-C₂-C₃-C₄.

Вершина C₁ имеет степень 1 внутри цепочки, ей нужно добавить 2 листа.
Вершина C₂ имеет степень 2 внутри цепочки, ей нужно добавить 1 лист.
Вершина C₃ имеет степень 2 внутри цепочки, ей нужно добавить 1 лист.
Вершина C₄ имеет степень 1 внутри цепочки, ей нужно добавить 2 листа.

Итого листов: 2+1+1+2=6. Это точно совпадает с условием (6 вершин степени 1).

Структура: цепочка из четырёх узлов, к крайним присоединено по два листа, к средним — по одному.

Шаг 2. Анализ пункта б)

Дано: 2 вершины степени 4, 2 вершины степени 3 и 8 вершин степени 1.

Найдём общее количество вершин V:

V=2+2+8=12

Число рёбер в дереве:

E=V-1=11

Проверим сумму степеней:

∑°(v)=2·4+2·3+8·1=8+6+8=22 2E=2·11=22

Условия выполнены. Построим дерево.

Соединим две вершины степени 4 (D_1,D₂) между собой одним ребром.

У D₁ осталось 3 свободных конца.
У D₂ осталось 3 свободных конца.

Теперь подключим вершины степени 3 (T_1,T₂). Пусть T₁ присоединена к D₁, а T₂ присоединена к D₂.

У T₁ было 3 конца, один занят связью с D₁, осталось 2 свободных конца.
У T₂ было 3 конца, один занят связью с D₂, осталось 2 свободных конца.
У D₁ было 3 свободных после связи с D₂, один занят связью с T₁, осталось 2 свободных конца.
У D₂ было 3 свободных после связи с D₁, один занят связью с T₂, осталось 2 свободных конца.

Подсчитаем оставшиеся свободные концы для прикрепления листьев (вершин степени 1):

2(от D₁)+2(от D₂)+2(от T₁)+2(от T₂)=8

Это точно соответствует количеству вершин степени 1 (8 штук). Просто прицепим по одному листу к каждому свободному концу.

Структура: два узла степени 4 связаны между собой, к каждому из них примыкает по одному узлу степени 3, а все оставшиеся ветви заканчиваются листьями.

Ответ

а) Дерево состоит из цепочки из 4 вершин степени 3, к крайним вершинам которой присоединено по 2 вершины степени 1, а к двум средним — по 1 вершине степени 1.

б) Дерево состоит из двух вершин степени 4, соединённых ребром; к каждой из них присоединена одна вершина степени 3; к каждой из четырёх внутренних вершин (двух степени 4 и двух степени 3) присоединено по 2 вершины степени 1.

Задача на проверку существования дерева с заданными степенями вершин и его конструктивное описание. Ключевой момент: сумма степеней должна быть четной и равна 2(V-1). В решении использован метод 'пришивания' листьев к остову из вершин высокой степени.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 18 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 18?

Краткий ответ: а) Дерево состоит из цепочки из 4 вершин степени 3, к крайним вершинам которой присоединено по 2 вершины степени 1, а к двум средним — по 1 вершине степени 1. б) Дерево состоит из двух вершин степени 4, соединённых ребром; к каждой из них присоединена одна вершина степени 3; к каждой из четырёх внутренних вершин (двух степени 4 и двух степени 3) присоединено по 2 вершины степени 1.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 48. Дерево случайного эксперимента.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.