ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 44: Логические союзы «и» и «или»

Нам даны две вероятности:

• P(A)=0,3;
• P(B)=0,7.

Сумма этих вероятностей равна 0,3+0,7=1. Возникает соблазн сделать вывод, что так как сумма равна единице, то события обязательно взаимоисключающие (или даже противоположные). Однако это неверное обобщение. Сумма вероятностей двух событий равна единице только тогда, когда эти события являются противоположными (то есть взаимоисключающими и исчерпывающими все возможные исходы).

Два события могут быть совместными (не взаимоисключающими), если существует исход, при котором происходят оба события одновременно. Формула вероятности суммы двух событий выглядит так:

Если события взаимоисключающие, то P(A∩B)=0, и тогда P(A∪B)=P(A)+P(B).

В нашем случае P(A)+P(B)=1. Это означает, что вероятность объединения событий A и B не может превышать 1. Но это не запрещает существованию пересечения P(A∩B)>0, при условии, что само объединение покрывает всё пространство элементарных исходов или часть его с соответствующей корректировкой. Давайте рассмотрим конкретный пример.

Рассмотрим эксперимент: бросание игральной кости. Пространство элементарных исходов arΩ={1;2;3;4;5;6}.

Определим событие A: выпадение чётного числа. Исходы: {2;4;6}. Вероятность P(A)=3/6=0,5. Это не подходит под условие (0,3).

Давайте возьмём более абстрактный пример с непрерывной величиной или просто логическую модель. Пусть у нас есть группа из 10 человек. Вероятность того, что случайно выбранный человек любит яблоки (A), равна 0,3 (3 человека). Вероятность того, что он любит груши (B), равна 0,7 (7 человек).

Может ли один человек любить и яблоки, и груши? Да. Например, пусть 2 человека любят и то, и другое. Тогда:

• Любят только яблоки: 1 человек.
• Любят только груши: 5 человек.
• Любят и то, и другое: 2 человека.
• Не любят ни то, ни другое: 2 человека.

Проверим вероятности:

P(A)=1+2/10=0,3.

P(B)=5+2/10=0,7.

Здесь события A и B имеют общие элементы (пересечение не пусто), значит, они не являются взаимоисключающими. При этом их вероятности в точности соответствуют условию задачи.

Тот факт, что сумма вероятностей P(A)+P(B)=1, не гарантирует, что события не пересекаются. Он лишь говорит о том, что если бы они были взаимоисключающими, то их объединение составляло бы достоверное событие (вероятность 1). Но они могут пересекаться, если при этом существуют исходы, не принадлежащие ни одному из событий (как в примере выше, где 2 человека не любят ни яблоки, ни груши, но сумма вероятностей всё равно складывается в 1 за счёт двойного учёта пересечения в простой сумме, хотя формально для взаимоисключающих событий пересечение должно быть нулевым).

Более строгий аргумент: Для взаимоисключающих событий верно равенство P(A∪B)=P(A)+P(B). Если P(A)+P(B)=1, то P(A∪B)=1. Это возможно и для совместных событий, если P(A∩B)>0, но тогда формула сложения даёт P(A∪B)=1-P(A∩B)<1. Подождите, здесь нужна аккуратность.

Давайте вернёмся к определению. Взаимоисключающие события: A∩B=∅.

Если A и B не взаимоисключающие, то A∩B≠∅, следовательно P(A∩B)>0 (для дискретных равномерных распределений или общих случаев).

В примере с людьми: P(A)=0,3, P(B)=0,7. Пересечение P(A∩B)=0,2. События совместны. Значит, они НЕ взаимоисключающие. Условие задачи выполнено (0,3 и 0,7). Следовательно, ответ «обязательно» — ложь.