ГДЗ по алгебре, 7 класс, Макарычев, номер 562: уравнения

Для решения этой задачи нужно вспомнить свойства степеней. В частности, нам пригодятся правила: возведение степени в степень (a^m)ⁿ=a^mn и умножение степеней с одинаковым основанием a^m·aⁿ=a^m+n. Наша цель — найти такой одночлен p, который при подстановке сделает равенство верным.

Рассмотрим каждый пункт отдельно:

• а) Дано уравнение p⁵=x²⁰. Чтобы найти p, нужно представить правую часть как пятую степень какого-то выражения. Используем обратное свойство возведения в степень: x²⁰=x^4·5=(x⁴)⁵. Следовательно, p⁵=(x⁴)⁵, откуда получаем p=x⁴ .
• б) Дано уравнение p⁷=x²¹. Аналогично предыдущему пункту, представим x²¹ как седьмую степень. Так как 21=3·7, то x²¹=x^3·7=(x³)⁷. Значит, p⁷=(x³)⁷, и мы находим p=x³ .
• в) Дано уравнение p³c⁸=c²⁰. Сначала выразим p³: разделим обе части на c⁸. Получаем p³=c²⁰/c⁸. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: 20-8=12. Таким образом, p³=c¹². Теперь найдем p, представив c¹² как куб некоторого выражения: c¹²=c^4·3=(c⁴)³. Отсюда следует, что p=c⁴ .
• г) Дано уравнение y⁷·(y²)⁴=p. Здесь нужно просто упростить левую часть. Сначала выполним действие в скобках по правилу возведения степени в степень: (y²)⁴=y^2·4=y⁸. Теперь умножим полученные степени с одинаковым основанием y: y⁷·y⁸=y⁷⁺⁸=y¹⁵. Следовательно, p=y¹⁵ .

Проверка результатов подтверждает правильность вычислений. Например, для пункта а): (x⁴)⁵=x^4·5=x²⁰, что совпадает с условием. Для пункта в): (c⁴)³·c⁸=c¹²·c⁸=c²⁰, также верно. Все найденные одночлены удовлетворяют исходным тождествам.